AnnalesÉcoles d'ingénieurs

X-ENS MP 2019 — Maths B

Solutions de viscosité d'une équation de Hamilton-Jacobi en dimension un · 7 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le sujet étudie l'équation $u(x) + H(x, u'(x)) = 0$ sur $[-1, 1]$ . Il montre d'abord que le problème $u + |u'| = 0$ avec $u(-1) = u(1) = -1$ n'a pas de solution de classe $\mathcal{C}^1$ , alors que $u_0(x) = -e^{-1+|x|}$ et $u_1(x) = -e^{1-|x|}$ le vérifient hors de $0$ . Il introduit ensuite les sur- et sous-différentiels $D^+u(x)$ et $D^-u(x)$ d'une fonction continue, en donne une caractérisation par limites supérieures de taux d'accroissement et les calcule pour une fonction concave. Il définit les sur- et sous-solutions, démontre un principe de comparaison par la méthode du dédoublement des variables, en déduit que $u_0$ est l'unique solution au sens de viscosité pour $H(x, p) = |p|$ , et l'obtient comme limite uniforme des solutions $u_\varepsilon$ du problème régularisé $u + |u'| - \varepsilon u'' = 0$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Absence de solution régulière p. 3

Équations différentielles non linéaires · Dérivabilité · Équations linéaires d'ordre 2 — équation de Hamilton-Jacobi, problème aux limites, fonction de classe $\mathcal{C}^1$ , équation $u'' = u$ , valeur absolue de la dérivée

Partie II — Sur-différentiel et sous-différentiel p. 3–5

Dérivabilité · Fonctions convexes · Densité · Intégrale sur un segment · Extrema et optimisation — sur-différentiel, sous-différentiel, fonction test, maximum local, fonction concave, dérivées à gauche et à droite, densité

Partie III — Principe de comparaison p. 5–7

Équations aux dérivées partielles · Compacité · Continuité · Équations différentielles non linéaires · Extrema et optimisation — solution de viscosité, sur-solution, sous-solution, principe de comparaison, dédoublement des variables, module de continuité

Partie IV — Unicité et approximation par viscosité évanescente p. 7

Équations aux dérivées partielles · Équations linéaires d'ordre 2 · Convergence uniforme et normale · Dérivabilité — solution de viscosité, viscosité évanescente, équation régularisée, unicité, convergence uniforme

Dans l'édifice

Théorème de Cauchy-Lipschitz local Solutions maximales et critère d'explosion Lemme de Grönwall et dépendance par rapport aux conditions initiales Flot d'un champ de vecteurs Dérivabilité Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Intérieur, adhérence Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Compacité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes