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X-ENS MP 2025 — Maths A

Réduction de Jordan des nilpotents et classification de couples de matrices · 7 pages

Le sujet démontre que toute matrice nilpotente est semblable à une matrice diagonale par blocs de Jordan, en passant par l'endomorphisme « multiplication par $X$ » sur un espace de polynômes de Laurent. Il en déduit une version « graduée » en présence d'un endomorphisme diagonalisable d'ordre fini, puis classe les couples de matrices rectangulaires $(A, B)$ à équivalence simultanée près.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Questions préliminaires p. 2–3

Nilpotents, Jordan, Dunford · Sous-espaces stables · Diagonalisation · Matrices par blocs — restriction à un sous-espace stable, matrice diagonalisable, blocs de Jordan, invariant de similitude, matrices diagonales par blocs

Partie II — Algèbre linéaire sur les polynômes de Laurent p. 3

Applications linéaires et rang · Polynômes d'endomorphismes · Espaces vectoriels et dimension · Fractions rationnelles — polynômes de Laurent, projection sur un supplémentaire, sous-espace cyclique, noyau des puissances

Partie III — Prolongements compatibles p. 4

Polynômes d'endomorphismes · Nilpotents, Jordan, Dunford · Anneaux et idéaux — idéal annulateur d'un vecteur, endomorphisme nilpotent, prolongement d'application linéaire, idéaux de $\mathbb{C}[X]$

Partie IV — Théorème de décomposition pour les endomorphismes nilpotents p. 4–5

Nilpotents, Jordan, Dunford · Espaces vectoriels et dimension — réduction de Jordan, indice de nilpotence, supplémentaire stable, unicité des tailles des blocs

Partie V — Version « graduée » du théorème de décomposition p. 5–6

Nilpotents, Jordan, Dunford · Diagonalisation · Nombres complexes · Applications linéaires et rang · Sous-espaces stables — racines de l'unité, projecteur moyenné, supplémentaire stable, endomorphisme d'ordre fini, diagonalisabilité

Partie VI — Classification des couples de matrices rectangulaires p. 6–7

Matrices par blocs · Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Polynômes d'endomorphismes — équivalence simultanée, matrices par blocs, matrices semblables, polynôme caractéristique, forme normale

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Théorème du rang Anneaux de polynômes Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Corps des fractions d'un anneau intègre Anneaux Idéaux d'un anneau commutatif Anneau quotient et théorème d'isomorphisme Idéaux premiers et maximaux Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Déterminant d'un endomorphisme