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X-ENS MPI 2025 — Maths B

Interpolation d'Hermite, polynômes orthogonaux et fonctions de type positif · 7 pages

Le problème étudie l'interpolation d'Hermite d'une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ et le reste associé, puis des familles de polynômes orthogonaux pour un poids sur $[-1, 1]$ (formule de quadrature de Gauss, entrelacement des racines). Il construit les polynômes de Gegenbauer par une fonction génératrice et conclut sur les fonctions de type positif sur la sphère, via le produit de Hadamard de matrices symétriques positives.

Le sujet, partie par partie

Première partie — Interpolation d'Hermite et fonctions absolument monotones p. 2–3

Dérivabilité · Polynômes · Interpolation polynomiale · Intégrale sur un segment — interpolation d'Hermite, théorème de Rolle généralisé, formule de Taylor avec reste intégral, fonctions absolument monotones, erreur d'interpolation

Deuxième partie — Quadrature de Gauss et polynômes orthogonaux p. 3–5

Polynômes orthogonaux · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Polynômes · Racines et relations coefficients-racines · Procédé de Gram-Schmidt — formule de quadrature de Gauss, relation de récurrence à trois termes, entrelacement des racines, produit scalaire à poids, base orthogonale de polynômes

Troisième partie — Polynômes de Gegenbauer p. 5–6

Polynômes de Gegenbauer et de Jacobi · Séries entières · Fonctions génératrices · Polynômes orthogonaux · Calcul différentiel · Intégrale sur un segment — polynômes de Gegenbauer, fonction génératrice, développement en série entière, relation de récurrence, poids $(1-x^2)^{\lambda-1/2}$

Quatrième partie — Fonctions de type positif sur la sphère p. 6–7

Matrices symétriques positives · Polynômes de Tchebychev · Interpolation polynomiale · Polynômes de Gegenbauer et de Jacobi · Polynômes orthogonaux · Théorème spectral · Nombres complexes — matrices symétriques positives, produit de Hadamard, polynômes de Tchebychev, fonction de type positif, sphère unité

Dans l'édifice

Dérivabilité Anneaux de polynômes Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle