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X-ENS PC 2015 — Maths

Spectre de la somme de deux matrices symétriques · 4 pages

Le sujet étudie l'application $s^{\downarrow}$ qui associe à une matrice symétrique réelle son spectre ordonné : par la caractérisation min-max de Courant-Fischer, il montre qu'elle est 1-lipschitzienne pour la norme d'opérateur, donc continue, et de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'ouvert des matrices à valeurs propres simples en dimension 2. Il établit ensuite des inégalités sur le spectre $c$ d'une somme $C = A + B$ (inégalités de Weyl $c_{j+k-1} \leqslant a_j + b_k$ , inégalité de Schur sur la diagonale, inégalité de Ky Fan sur les sommes partielles) et décrit complètement, pour $n = 2$ , l'ensemble des spectres possibles de $A + B$ à spectres de $A$ et $B$ fixés : c'est un segment.

Le sujet, partie par partie

Première partie — Spectre ordonné et principe min-max p. 1–3

Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Entrelacement et inégalités spectrales · Théorème spectral · Continuité · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Espaces vectoriels et dimension · Topologie des espaces de matrices · Calcul différentiel — spectre ordonné, Courant-Fischer, quotient de Rayleigh, résolution spectrale, formule de Grassmann, continuité des valeurs propres, valeurs propres simples, ouvert de matrices

Deuxième partie — Inégalités de Weyl, Schur et Ky Fan p. 3–4

Entrelacement et inégalités spectrales · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Théorème spectral · Inégalités classiques · Espaces vectoriels et dimension · Extrema et optimisation · Ensembles convexes — inégalités de Weyl, spectre d'une somme de matrices symétriques, inégalité de Schur, diagonale d'une matrice symétrique, principe de Ky Fan, familles orthonormales, trace

Troisième partie — Le cas $n = 2$ p. 4

Théorème spectral · Matrices orthogonales et rotations · Entrelacement et inégalités spectrales · Connexité · Géométrie affine et euclidienne — matrices symétriques $2 \times 2$ , rotations, spectres possibles d'une somme, problème de Horn, paramétrage continu, image d'un segment

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Applications linéaires continues et dual topologique Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupe topologique Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Théorème de Hahn-Banach Caractérisations de la connexité