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X-ENS PSI 2011 — Maths

Matrices, réversibilité, entropie et hypocoercivité · 6 pages

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Le sujet étudie le système différentiel $U' = AU$ et montre, via la trigonalisation de Schur et un lemme de Grönwall, qu'il est « irréversible bien orienté » (toute solution tend vers $0$ ) si et seulement si toutes les valeurs propres de $A$ sont de partie réelle strictement négative. Il construit alors une norme euclidienne strictement décroissante le long des trajectoires (entropie stricte) à partir du produit scalaire $\int \langle \exp(sA)U_1, \exp(sA)U_2 \rangle \,\mathrm{d}s$ , puis étudie l'hypocoercivité, situation où la norme usuelle est une entropie non stricte, sur des exemples $A = S + K + \kappa N$ et du point de vue de la convexité et de la topologie des ensembles de matrices concernés.

Le sujet, partie par partie

Préambule et Partie 1 — Matrices et réversibilité p. 2–4

Systèmes différentiels linéaires · Exponentielle de matrices · Trigonalisation · Théorème de Cauchy-Lipschitz · Normes équivalentes · Stabilité des équilibres · Normes subordonnées et applications linéaires continues — trigonalisation de Schur, exponentielle de matrice, lemme de Grönwall, partie réelle des valeurs propres, stabilité asymptotique, suite de Cauchy

Partie 2 — Matrices et entropie p. 4–5

Stabilité des équilibres · Systèmes différentiels linéaires · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Exponentielle de matrices · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence dominée — fonction de Liapounov quadratique, entropie stricte, norme euclidienne adaptée, décroissance exponentielle, abscisse spectrale, produit scalaire défini par une intégrale

Partie 3 — Matrices et hypocoercivité p. 5–6

Stabilité des équilibres · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Topologie des espaces de matrices · Ensembles convexes · Nilpotents, Jordan, Dunford · Théorème spectral — hypocoercivité, matrice antisymétrique, partie symétrique, forme quadratique $\langle AX, X\rangle$ , ensemble convexe ouvert, points extrémaux

Dans l'édifice

Systèmes linéaires et exponentielle de matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Matrices d'une application linéaire Théorème de Cauchy-Lipschitz local Normes en dimension finie Flot d'un champ de vecteurs Applications linéaires continues et dual topologique Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de convergence dominée Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupe topologique Théorème de Hahn-Banach