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X-ENS PSI 2014 — Maths

Opérateurs en dimension infinie : spectres et opérateurs de Hilbert-Schmidt · 3 pages

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Le sujet étudie des endomorphismes continus d'espaces normés de dimension infinie. Il calcule la norme d'opérateur de $f \mapsto (x \mapsto x f(x/2))$ pour deux normes, les spectres ponctuels des décalages à gauche et à droite dans $\ell^2$ et $\ell^\infty$ ainsi que leurs spectres dans $\ell^\infty$ , puis le spectre ponctuel d'un opérateur intégral à noyau, ramené à l'équation $\lambda f'' + f = 0$ avec conditions aux bords nulles. Il termine par les opérateurs de Hilbert-Schmidt sur $\ell^2$ , dont la norme ne dépend pas de la base hilbertienne, qui forment un espace préhilbertien et qui sont stables par composition à gauche par un opérateur quelconque.

Le sujet, partie par partie

Partie 1 — Un premier exemple d'opérateur p. 1

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Opérateurs et théorie spectrale · Applications linéaires et rang — norme d'opérateur, norme infinie, norme 2, fonctions affines par morceaux, noyau et image

Partie 2 — Un premier exemple de calcul de spectres p. 1–2

Opérateurs et théorie spectrale · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Suites numériques — opérateur de décalage, shift, spectre ponctuel, spectre, espace $\ell^2$ , suites bornées

Partie 3 — Un second exemple de calcul de spectre ponctuel p. 2

Opérateurs et théorie spectrale · Problèmes aux limites, Sturm-Liouville · Intégrales à paramètre · Équations linéaires d'ordre 2 — opérateur intégral, noyau intégral, fonction de Green, problème aux limites, valeurs propres, sous-espaces propres

Partie 4 — Une classe particulière d'opérateurs p. 2–3

Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Opérateurs et théorie spectrale · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Formule de Parseval — base hilbertienne, opérateurs de Hilbert-Schmidt, égalité de Parseval, opérateur adjoint, produit scalaire sur les opérateurs, idéal d'opérateurs

Dans l'édifice

Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Applications linéaires Théorème du rang Espaces de Hilbert et théorème de projection Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de Cauchy-Lipschitz local Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème de représentation de Riesz Le système trigonométrique est une base hilbertienne