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Agrégation externe 2012 — Mathématiques générales

Points à coordonnées entières dans des polytopes · 6 pages

Le sujet compte les points entiers de parties de $\mathbb{R}^d$ et montre que ces nombres sont des fonctions quasi-polynomiales de la dilatation. Il traite d'abord le nombre de solutions de $m_1k_1 + \dots + m_dk_d = n$ par séries formelles et éléments simples, démontre la formule de Pick pour les polygones à sommets entiers par triangulation et en déduit que $n \mapsto \operatorname{Card}(n\mathscr{P} \cap \mathbb{Z}^2)$ est polynomiale, puis établit le caractère quasi-polynomial pour un simplexe à sommets rationnels via un cône et sa série génératrice. Il applique enfin ces résultats aux polynômes quasi-homogènes et à l'algèbre des invariants d'un groupe cyclique agissant diagonalement, dont il discute la factorialité.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Un premier cas p. 1–2

Séries formelles · Fractions rationnelles · Partitions et nombres combinatoires · Fonctions génératrices · Coefficients binomiaux — fonction quasi-polynomiale, série génératrice, décomposition en éléments simples, nombre de solutions entières d'une équation linéaire, dérivée d'une série formelle

Partie II — Étude en dimensions 1 et 2 : formule de Pick p. 2–4

Polytopes et géométrie combinatoire · Ensembles convexes · PGCD, Bézout, Gauss · Géométrie affine et euclidienne · Compacité — formule de Pick, polygone à sommets entiers, triangulation, coordonnées barycentriques, enveloppe convexe, points entiers sur un segment

Partie III — Le cas d'un simplexe p. 4

Polytopes et géométrie combinatoire · Séries formelles · Fonctions génératrices — quasi-polynôme d'Ehrhart, simplexe à sommets rationnels, cône sur un simplexe, parallélépipède fondamental, série génératrice

Partie IV — Applications : polynômes quasi-homogènes et invariants d'un groupe cyclique p. 5–6

Théorie des invariants · Anneaux et idéaux · Représentations des groupes finis · Groupes cycliques et ordre · Diagonalisation · Algèbres et sous-algèbres — polynômes quasi-homogènes, algèbre des invariants, représentation d'un groupe cyclique, anneau factoriel, élément irréductible, racine primitive de l'unité, dimension quasi-polynomiale

Dans l'édifice

Anneaux de polynômes Séries entières et rayon de convergence Corps des fractions d'un anneau intègre Ensembles finis et principe des tiroirs Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Théorème de Hahn-Banach Division euclidienne PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Espaces vectoriels et sous-espaces Compacité Anneaux Idéaux d'un anneau commutatif Anneau quotient et théorème d'isomorphisme Idéaux premiers et maximaux Groupes Matrices d'une application linéaire Sous-groupes Modules sur un anneau commutatif Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé