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Agrégation externe 2013 — Mathématiques générales

Morphismes et isomorphismes entre groupes spéciaux linéaires (théorèmes de Schreier et Van der Waerden) · 12 pages

Le sujet démontre, pour des corps de caractéristique différente de 2, trois théorèmes de Schreier et Van der Waerden : tout morphisme de $\mathrm{SL}_n(\mathbb{K})$ dans $\mathrm{SL}_p(\mathbb{L})$ avec $n > p$ est trivial ; si $\mathrm{SL}_n(\mathbb{K})$ et $\mathrm{SL}_p(\mathbb{L})$ sont isomorphes alors $n = p$ et $\mathbb{K}$ est isomorphe à $\mathbb{L}$ ; tout isomorphisme de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{K})$ sur $\mathrm{SL}_2(\mathbb{L})$ est de la forme $M \mapsto P M^\sigma P^{-1}$ avec $\sigma$ un isomorphisme de corps. Il s'appuie sur des calculs de commutants (matrices diagonales par blocs, matrices compagnons), sur les transvections, le centre et le groupe dérivé de $\mathrm{SL}_n(\mathbb{K})$ , le dénombrement de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ , et sur l'étude de centralisateurs et de normalisateurs.

Le sujet, partie par partie

Notations, objectifs et Partie I.A — Quelques calculs de commutants p. 2–4

Polynômes d'endomorphismes · Sous-espaces stables · Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Matrices par blocs · Algèbres et sous-algèbres · Matrices remarquables — commutant, matrice compagnon, matrices diagonales par blocs, sous-espaces propres stables, algèbre $\mathbb{K}[M]$

Partie I.B et I.C — Éléments de structure et dénombrement de $\mathrm{SL}_n(\mathbb{K})$ p. 5

Transvections et structure de SLn · Groupes · Corps finis · Dénombrement et combinatoire · Matrices remarquables — transvections, groupe spécial linéaire, centre de $\mathrm{SL}_n$ , groupe dérivé, cardinal de $\mathrm{GL}_n$ sur un corps fini, centralisateur

Partie II — Le théorème 1 en caractéristique différente de 2 p. 5–6

Groupes de matrices · Groupes · Diagonalisation · Matrices par blocs · Polynômes d'endomorphismes · Transvections et structure de SLn — morphisme de groupes trivial, noyau d'un morphisme, éléments d'ordre 2, simplicité de $\mathrm{PSL}_n$ , raisonnement par récurrence, involutions

Partie III — Isomorphismes de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{K})$ sur $\mathrm{SL}_2(\mathbb{L})$ p. 7–9

Transvections et structure de SLn · Groupes · Corps et extensions · Polynômes d'endomorphismes · Actions de groupes — transvections, centralisateur, normalisateur, automorphisme intérieur, isomorphisme de corps, décomposition en produit de matrices triangulaires, $\mathrm{SL}_2$

Partie IV — Le théorème 2 en caractéristique différente de 2 p. 9–10

Groupes de matrices · Groupes · Matrices par blocs · Diagonalisation · Transvections et structure de SLn — isomorphisme de groupes, centralisateur, sous-groupe distingué, groupe dérivé, produit direct de groupes, involution

Dans l'édifice

Applications linéaires Anneaux de polynômes Matrices d'une application linéaire Modules sur un anneau commutatif Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Groupes Sous-groupes Morphismes de groupes Groupe quotient Corps finis Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Corps Extensions de corps et multiplicativité des degrés Éléments algébriques et polynôme minimal Corps de décomposition