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Agrégation externe 2017 — Analyse et probabilités

Exponentielles de matrices et d'opérateurs, formule de Trotter-Kato · 12 pages

Le sujet étudie les exponentielles de matrices et d'opérateurs et la convergence en norme des produits $(e^{-tA/n} e^{-tB/n})^n$ vers $e^{-t(A+B)}$ . En dimension finie, il établit la formule de Lie-Trotter-Kato avec une erreur en $C/n$ , et en $C/n^2$ pour la version symétrisée de Strang. Il introduit ensuite les semi-groupes d'opérateurs bornés sur un espace de Hilbert et leur générateur (multiplication sur $\ell^2$ , translations et changement de variable sur $L^2(\mathbb{R})$ ), exhibe un cas de non-convergence, puis construit sur $\ell^2(\mathbb{N}^*, \mathbb{R}^2)$ un exemple d'opérateurs diagonaux par blocs montrant que la vitesse ne peut dépasser $c_t/n^{2\alpha-1}$ .

Le sujet, partie par partie

Introduction, notations et Partie I — Exponentielles de matrices p. 5–7

Exponentielle de matrices · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Théorème spectral · Systèmes différentiels linéaires · Matrices symétriques positives — norme subordonnée euclidienne, exponentielle de matrice, matrices commutantes, cosinus et sinus hyperboliques, matrice positive, contraction

Partie II — Formules de Trotter-Kato en dimension finie p. 7

Exponentielle de matrices · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Analyse numérique — formule de Lie-Trotter-Kato, formule de Strang, splitting, télescopage, vitesse de convergence, produit d'exponentielles

Partie III — Semigroupes d'opérateurs p. 8–9

Semi-groupes et générateurs · Opérateurs et théorie spectrale · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Théorie de la mesure · Densité — semi-groupe d'opérateurs, générateur infinitésimal, domaine d'un opérateur, espace $\ell^2$ , espace $L^2$ , semi-groupe des translations, non-convergence

Partie IV — Borne inférieure dans la formule de Trotter-Kato p. 9–12

Semi-groupes et générateurs · Exponentielle de matrices · Développements limités · Opérateurs et théorie spectrale · Matrices orthogonales et rotations · Matrices symétriques positives · Équivalents et comparaison — opérateurs diagonaux par blocs, puissance fractionnaire d'une matrice, trace d'exponentielle, cosinus hyperbolique, vitesse de convergence optimale, borne inférieure

Dans l'édifice

L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Applications linéaires continues et dual topologique Espaces de Hilbert et théorème de projection Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème du point fixe de Banach Théorème de Banach-Steinhaus Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Tribus et tribu borélienne Mesures et premières propriétés La mesure de Lebesgue sur ℝ Fonctions mesurables Intérieur, adhérence Dérivabilité Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Suites réelles et limites