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Agrégation externe 2017 — Mathématiques générales

Réduction de Jordan, bicommutant, décomposition de Dunford et répliques de Chevalley · 8 pages

Sur un corps de caractéristique nulle, le sujet caractérise les nilpotents par la nullité des traces de leurs puissances, montre que le commutant d'un endomorphisme cyclique est $\mathbb{K}[u]$ et démontre la réduction de Jordan des nilpotents en sous-espaces cycliques. Il établit le théorème du bicommutant $\mathcal{C}\mathcal{C}(u) = \mathbb{K}[u]$ , construit la décomposition de Dunford par un algorithme de type Newton $A_{k+1} = A_k - P(A_k)S(A_k)$ , puis développe la théorie des répliques de Chevalley via les produits tensoriels $\mathcal{N}_{r,s}$ : les répliques de $A = D + N$ sont décrites, et $A$ est nilpotente si et seulement si $\operatorname{Tr}(AA') = 0$ pour toute réplique $A'$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et exercices préliminaires p. 2–3

Calcul matriciel · Dualité · Applications linéaires et rang · Espaces vectoriels et dimension · Matrices remarquables — matrice de rang 1, dual de l'espace des matrices, forme linéaire $M \mapsto \operatorname{Tr}(AM)$ , matrices équivalentes, rang

Partie I — Réduction de Jordan p. 3–4

Nilpotents, Jordan, Dunford · Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Polynômes d'endomorphismes · Sous-espaces stables · Algèbres et sous-algèbres · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — polynôme minimal, traces des puissances, lemme des noyaux, endomorphisme cyclique, commutant, réduction de Jordan, sous-espace cyclique

Partie II — Bicommutant p. 4–5

Algèbres et sous-algèbres · Polynômes d'endomorphismes · Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Corps et extensions · Matrices par blocs · Nilpotents, Jordan, Dunford — théorème du bicommutant, commutant, extension de corps, invariance du rang par extension, polynôme minimal et extension, matrice compagnon

Partie III — Décomposition de Dunford pour une matrice p. 5

Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynômes d'endomorphismes · Méthode de Newton · PGCD, Bézout, Gauss · Polynômes — décomposition de Dunford, matrice semi-simple, partie sans facteur carré, relation de Bézout, algorithme de Newton matriciel, facteurs irréductibles

Partie IV — Théorie des répliques de Chevalley p. 5–7

Algèbres et sous-algèbres · Diagonalisation · Nilpotents, Jordan, Dunford · Matrices par blocs · Dualité · Espaces vectoriels et dimension · Déterminants — produit tensoriel, produit de Kronecker, tenseurs, répliques de Chevalley, commutateur, endomorphisme $\operatorname{ad}$ , application $\mathbb{Q}$ -linéaire

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Espace dual Applications linéaires Théorème du rang Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Anneaux de polynômes Modules sur un anneau commutatif Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé Déterminant d'un endomorphisme Corps Extensions de corps et multiplicativité des degrés Éléments algébriques et polynôme minimal Corps de décomposition Théorème du point fixe de Banach PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Formes multilinéaires alternées