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Agrégation interne 2012 — Épreuve 1

Réseaux euclidiens, constante d'Hermite et sommes de carrés · 6 pages

Le sujet étudie les réseaux d'un espace euclidien : $\mathbb{Z}$ -bases et groupe $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ , déterminant d'un réseau, existence de vecteurs minimaux, sous-groupes d'un réseau, complétion d'un vecteur minimal en $\mathbb{Z}$ -base, matrices de Gram et réseaux semblables, avec les exemples $\mathbb{Z}^n$ , $D_n$ et $A_2$ (réseau hexagonal). Il démontre l'inégalité d'Hermite $m(\Lambda)^2 \leqslant (4/3)^{(n-1)/2} (\det \Lambda)^{2/n}$ , calcule $\gamma_2 = 2/\sqrt{3}$ en caractérisant le cas d'égalité, puis applique ces réseaux pour montrer qu'un premier $p \equiv 1 \pmod{4}$ (resp. $\mathrm{mod}\ 8$ , $\mathrm{mod}\ 3$ ) s'écrit $a^2 + b^2$ (resp. $a^2 + 2b^2$ , $a^2 + 3b^2$ ).

Le sujet, partie par partie

Introduction et Partie A — Réseaux et $\mathbb{Z}$ -bases p. 2–4

Réseaux euclidiens · Groupes · Déterminants · PGCD, Bézout, Gauss · Calcul matriciel — $\mathbb{Z}$ -base, groupe $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ , comatrice, déterminant d'un réseau, vecteurs minimaux, sous-groupe d'un réseau, algorithme d'Euclide étendu

Partie B — Réseaux et matrices de Gram p. 4

Réseaux euclidiens · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Déterminants · Isométries et groupe orthogonal — matrice de Gram, déterminant d'un réseau, réseaux semblables, similitude, invariant de similitude

Partie C — Quelques exemples de réseaux p. 4–5

Réseaux euclidiens · Géométrie affine et euclidienne · Congruences et Z/nZ — réseau $\mathbb{Z}^n$ , réseau $D_n$ , réseau $A_2$ , réseau hexagonal, vecteurs de norme minimale

Partie D — Inégalité d'Hermite et constante $\gamma_2$ p. 5–6

Réseaux euclidiens · Projection orthogonale et moindres carrés · Inégalités classiques — constante d'Hermite, inégalité d'Hermite, réseau projeté, raisonnement par récurrence, réseau $A_2$ extrémal

Partie E — Applications aux sommes de carrés p. 6

Sommes de carrés · Formes quadratiques binaires entières · Réseaux euclidiens · Corps finis · Racines et relations coefficients-racines · Congruences et Z/nZ — théorème des deux carrés de Fermat, $p = a^2 + 2b^2$ , $p = a^2 + 3b^2$ , $X^m - 1$ scindé sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ , racine carrée de $-1$ modulo $p$