AnnalesBaccalauréat

Bac Antilles-Guyane Terminale 2015 — Remplacement, 9 septembre 2015

Suite d'intégrales de fonctions exponentielles, probabilités conditionnelles, loi binomiale et fluctuation, questions sur suites et complexes, distance de deux droites ou chiffrement affine · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie la fonction $f_1(x) = x^2\mathrm{e}^{-2x}$ , puis la suite d'intégrales $I_n = \int_0^1 x^2\mathrm{e}^{-2nx}\,\mathrm{d}x$ , dont on établit la décroissance et la limite par encadrement. Le deuxième exercice traite des bouteilles de jus de fruits par un arbre pondéré, une loi binomiale et un intervalle de fluctuation asymptotique. Le troisième exercice pose trois questions indépendantes sur une suite définie par son logarithme, la majoration d'une suite et le module d'une suite géométrique de nombres complexes. Au choix, les non-spécialistes cherchent dans un cube la perpendiculaire commune aux droites (DB) et (AG) et la distance minimale, et les spécialistes résolvent $51x - 26y = 1$ pour décoder un chiffrement affine.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonction $x^2\mathrm{e}^{-2nx}$ et suite d'intégrales : variations et limite p. 1–2

Intégrale sur un segment · Suites numériques · Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Limites de fonctions et asymptotes — $f_n(x) = x^2\mathrm{e}^{-2nx}$ , suite d'intégrales, primitive donnée par calcul formel, interprétation graphique, encadrement d'une intégrale, théorème des gendarmes

Exercice 2 — Arbre pondéré, loi binomiale et intervalle de fluctuation asymptotique p. 2–3

Probabilités totales et formule de Bayes · Lois de Bernoulli et binomiale · Statistique : estimation et tests — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, intervalle de fluctuation asymptotique

Exercice 3 — Trois questions sur des suites : logarithme, majoration et module complexe p. 3

Suites arithmétiques et géométriques · Fonctions exponentielle et logarithme · Nombres complexes — nature d'une suite, $\ln(u_{n+1}) = \ln(u_n) - 1$ , majoration d'une suite, module, seuil $10^{-20}$

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Cube : perpendiculaire commune à deux droites et distance minimale p. 3–4

Géométrie vectorielle dans l'espace · Second degré — cube, représentation paramétrique, perpendiculaire commune, produit scalaire, distance minimale, forme canonique

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Équation $51x - 26y = 1$ et chiffrement affine p. 4–5

PGCD, Bézout, Gauss · Cryptographie — théorème de Bézout, équation diophantienne, inverse modulo 26, chiffrement affine, décodage, itération du codage

Dans l'édifice

Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Exponentielle et logarithme Dérivabilité Limite d'une fonction en un point Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Espaces vectoriels et sous-espaces Anneaux de polynômes PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Les anneaux ℤ/nℤ