AnnalesBaccalauréat

Bac Liban Terminale 2018 — Session normale, 29 mai 2018

Lois exponentielle et normale, nombres complexes et suite, trajectoires dans l'espace, famille de fonctions logarithmes et intégrales, probabilités conditionnelles et suite ou suite de Fibonacci et matrices · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice modélise un appel téléphonique par une attente de loi exponentielle de paramètre $0{,}02$ et un échange de loi normale, et interroge l'absence de mémoire. Le deuxième écrit $1 + \mathrm{i}$ et $1 - \mathrm{i}$ sous forme exponentielle pour étudier $S_n = (1+\mathrm{i})^n + (1-\mathrm{i})^n$ , et le troisième exploite la représentation paramétrique de la trajectoire de deux sous-marins (vitesse, angle avec l'horizontale, même profondeur). Le quatrième étudie $f_n(x) = \frac{\ln x}{x^n}$ sur $[1, 5]$ , montre que les maxima sont sur la courbe $y = \frac{1}{\mathrm{e}}\ln(x)$ et cherche la limite de l'aire sous la courbe. Au choix, les non-spécialistes étudient par un arbre la suite $p_{n+1} = -\frac{1}{4}p_n + \frac{1}{2}$ , et les spécialistes la suite de Fibonacci à l'aide des puissances d'une matrice et des propriétés de divisibilité.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Temps d'attente exponentiel et temps d'échange normal p. 1

Loi exponentielle · Loi normale et vecteurs gaussiens · Espérance, variance, moments — loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}02$ , loi normale d'espérance $96$ et d'écart-type $26$ , durée moyenne d'un appel, absence de mémoire, probabilité conditionnelle

Exercice 2 — Formes exponentielles et suite $S_n = (1+\mathrm{i})^n + (1-\mathrm{i})^n$ p. 1

Nombres complexes · Fonctions trigonométriques — forme exponentielle, forme trigonométrique, $S_n = (1+\mathrm{i})^n + (1-\mathrm{i})^n$ , vrai-faux, nature du nombre $S_n$

Exercice 3 — Trajectoires rectilignes de deux sous-marins : représentation paramétrique, vitesse et angle p. 2

Géométrie vectorielle dans l'espace · Fonctions trigonométriques — représentation paramétrique, point $S_1(t)$ , vitesse constante, angle avec le plan horizontal, même profondeur

Exercice 4 — Fonctions $f_n(x) = \frac{\ln x}{x^n}$ : lieu des maxima, encadrement et limite d'une aire p. 2–3

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Suites numériques — $f_n(x) = \frac{\ln x}{x^n}$ , $f_n'(x) = \frac{1 - n\ln(x)}{x^{n+1}}$ , courbe $\Gamma : y = \frac{1}{\mathrm{e}}\ln(x)$ , $\int_1^5 \frac{1}{x^n}\,\mathrm{d}x$ , encadrement d'une intégrale, limite d'une aire

Exercice 5 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Arbre pondéré et suite arithmético-géométrique $p_{n+1} = -\frac{1}{4}p_n + \frac{1}{2}$ p. 3–4

Conditionnement et indépendance · Suites arithmétiques et géométriques · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, formule des probabilités totales, $p_{n+1} = -\frac{1}{4}p_n + \frac{1}{2}$ , conjecture, $u_n = p_n - \frac{2}{5}$ , $p_n = \frac{2}{5} - \frac{3}{20}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}$

Exercice 5 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Suite de Fibonacci : puissances de matrice, divisibilité et nombres premiers p. 4

Calcul matriciel · Arithmétique des entiers · Suites récurrentes linéaires · Nombres premiers · Informatique et algorithmique — suite de Fibonacci, $A^n = \begin{pmatrix} a_{n+1} & a_n \\ a_n & a_{n-1} \end{pmatrix}$ , $a_{p+q} = a_p a_{q+1} + a_{p-1} a_q$ , divisibilité, raisonnement par récurrence, $a_{19} = 4181 = 37 \times 113$ , réciproque

Bac Liban Terminale 2018 — Session normale, 29 mai 2018

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Temps d'attente exponentiel et temps d'échange normal p. 1

Exercice 2 — Formes exponentielles et suite Sn=(1+i)n+(1−i)nS_n = (1+\mathrm{i})^n + (1-\mathrm{i})^n p. 1

Exercice 3 — Trajectoires rectilignes de deux sous-marins : représentation paramétrique, vitesse et angle p. 2

Exercice 4 — Fonctions fn(x)=ln⁡xxnf_n(x) = \frac{\ln x}{x^n} : lieu des maxima, encadrement et limite d'une aire p. 2–3

Exercice 5 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Arbre pondéré et suite arithmético-géométrique pn+1=−14pn+12p_{n+1} = -\frac{1}{4}p_n + \frac{1}{2} p. 3–4

Exercice 5 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Suite de Fibonacci : puissances de matrice, divisibilité et nombres premiers p. 4

Dans l'édifice

Exercice 2 — Formes exponentielles et suite $S_n = (1+\mathrm{i})^n + (1-\mathrm{i})^n$ p. 1

Exercice 4 — Fonctions $f_n(x) = \frac{\ln x}{x^n}$ : lieu des maxima, encadrement et limite d'une aire p. 2–3

Exercice 5 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Arbre pondéré et suite arithmético-géométrique $p_{n+1} = -\frac{1}{4}p_n + \frac{1}{2}$ p. 3–4