AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2015 — Session normale, 22 juin 2015 (Métropole, La Réunion)

Lois exponentielle et normale et prise de décision, droites de l'espace et distance minimale, nombres complexes ou équation diophantienne et marche aléatoire matricielle, étude de fonction et aires d'un module de skateboard · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice établit $P(c \leqslant X \leqslant d) = \mathrm{e}^{-\lambda c} - \mathrm{e}^{-\lambda d}$ pour une loi exponentielle, calcule des probabilités pour une loi normale, puis traite des bons d'achat par probabilités conditionnelles et une décision par intervalle de fluctuation. Le deuxième exercice suit deux points mobiles sur deux droites de l'espace non sécantes et cherche l'instant où leur distance est minimale. Au choix, les non-spécialistes résolvent $z^2 - 8z + 64 = 0$ et étudient par les formes exponentielles un triangle dont ils conjecturent puis justifient la nature, et les spécialistes résolvent $7x - 5y = 1$ puis étudient une marche aléatoire sur un triangle par puissances d'une matrice de transition. Le dernier exercice étudie le profil $f(x) = (x+1)\ln(x+1) - 3x + 7$ d'un module de skateboard, en déduit l'aire des faces latérales par une primitive, et approche l'aire de la piste roulante par un algorithme fondé sur une ligne polygonale.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Loi exponentielle, loi normale, probabilités conditionnelles et intervalle de fluctuation p. 1–2

Loi exponentielle · Loi normale et vecteurs gaussiens · Probabilités totales et formule de Bayes · Statistique : estimation et tests · Intégrale sur un segment — $P(c \leqslant X \leqslant d) = \mathrm{e}^{-\lambda c} - \mathrm{e}^{-\lambda d}$ , espérance d'une loi exponentielle, loi normale, probabilités totales, intervalle de fluctuation asymptotique, prise de décision

Exercice 2 — Droites de l'espace non sécantes et distance minimale entre deux points mobiles p. 2

Géométrie vectorielle dans l'espace · Second degré — droite parallèle à un axe, plan parallèle à un plan de coordonnées, droites non sécantes, $M_tN_t^2 = 2t^2 - 25{,}2t + 138$ , minimum d'un trinôme

Exercice 3 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Équation du second degré dans $\mathbb{C}$ , forme exponentielle et triangle équilatéral p. 2–3

Nombres complexes · Second degré — $z^2 - 8z + 64 = 0$ , $a = 4 + 4\mathrm{i}\sqrt{3}$ , module et argument, forme exponentielle, milieu et distance en complexes, triangle équilatéral

Exercice 3 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Équation diophantienne et marche aléatoire sur un triangle par matrice de transition p. 3–4

PGCD, Bézout, Gauss · Chaînes de Markov · Matrices stochastiques et bistochastiques · Diagonalisation · Calcul matriciel · Suites numériques — $7x - 5y = 1$ , équation diophantienne, marche aléatoire, $X_{n+1} = X_n T$ , $T = PDP^{-1}$ , puissances d'une matrice, comportement limite

Exercice 4 — Fonction avec logarithme : variations, tangente, primitive, aires et longueur approchée par algorithme p. 4–6

Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique — $f(x) = (x+1)\ln(x+1) - 3x + 7$ , tableau de variation, coefficient directeur d'une tangente, primitive, aire sous une courbe, arc approché par des segments, algorithme de sommation