AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2017 — Remplacement, 12 septembre 2017 (Métropole, La Réunion)

Suite d'intégrales de $\mathrm{e}^{-x^2}$ , Monte-Carlo et rectangle d'aire maximale, transformation complexe $z' = -z^2 + 2z$ , loi normale, conditionnement et échantillonnage, géométrie dans le cube ou matrices et équations diophantiennes · 7 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice montre que la suite $u_n = \int_0^n \mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ est croissante et majorée, donc convergente, estime $u_2$ par une méthode de Monte-Carlo programmée, puis cherche le rectangle d'aire maximale $\mathcal{A}(x) = x\mathrm{e}^{-x^2}$ inscrit sous la courbe. Le deuxième étudie la transformation $z' = -z^2 + 2z$ : équation du second degré, milieu d'un segment, construction à la règle et au compas lorsque $|z| = 1$ et nature d'un triangle. Le troisième combine une loi normale (taux de cholestérol), un arbre pondéré avec probabilité conditionnelle inversée, un intervalle de fluctuation et la taille minimale d'un échantillon pour un intervalle de confiance. Au choix, les non-spécialistes déterminent dans un cube une équation du plan $(BGI)$ , le volume du tétraèdre $FBIG$ et le projeté orthogonal de $F$ sur ce plan pour obtenir l'aire du triangle $BGI$ , et les spécialistes obtiennent l'équation d'un plan par inversion de matrice puis cherchent ses points à coordonnées entières par l'équation $2x + 3y = 11$ et des congruences.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Suite d'intégrales $\int_0^n \mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ , méthode de Monte-Carlo et rectangle d'aire maximale p. 1–3

Intégrale sur un segment · Suites numériques · Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Informatique et algorithmique — $u_n = \int_0^n \mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ , suite croissante majorée, comparaison d'intégrales, méthode de Monte-Carlo, algorithme, $\mathcal{A}(x) = x\mathrm{e}^{-x^2}$ , aire maximale

Exercice 2 — Transformation complexe $z' = -z^2 + 2z$ : équation du second degré, module, argument et construction p. 3–7

Nombres complexes · Second degré — $z' = -z^2 + 2z$ , équation du second degré dans $\mathbb{C}$ , milieu d'un segment, module et argument, construction à la règle et au compas, nature d'un triangle

Exercice 3 — Loi normale, arbre pondéré, intervalle de fluctuation et intervalle de confiance p. 3–4

Loi normale et vecteurs gaussiens · Probabilités totales et formule de Bayes · Statistique : estimation et tests — loi normale $\mathcal{N}(1{,}84 ; 0{,}4^2)$ , arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, intervalle de fluctuation asymptotique, intervalle de confiance, effectif minimal

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Cube : plan, volume d'un tétraèdre et projeté orthogonal p. 5

Géométrie vectorielle dans l'espace — vecteur normal, équation cartésienne de plan, volume d'un tétraèdre, droite orthogonale à un plan, projeté orthogonal, aire d'un triangle

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Matrice inverse, équation d'un plan et points à coordonnées entières p. 5–6

Calcul matriciel · PGCD, Bézout, Gauss · Congruences et Z/nZ · Géométrie vectorielle dans l'espace — matrice inverse, $MX = 73Y$ , $10x + 15y + 6z = 73$ , équation diophantienne $2x + 3y = 11$ , solution particulière, congruences, points à coordonnées entières