AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2019 — Remplacement, 13 septembre 2019 (Métropole, La Réunion)

Lois normales et probabilités totales, intégrale de la gaussienne et méthode de Monte-Carlo, vrai-faux sur complexes et espace, suite définie par une fonction homographique ou matrice de population et arithmétique · 8 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice modélise des notes par deux lois normales, calcule une probabilité totale, discute un échantillon par un intervalle de fluctuation et détermine un seuil de note. Le deuxième exercice étudie $G(t) = \int_0^t g(u)\,\mathrm{d}u$ pour $g(u) = \mathrm{e}^{-u^2}$ , d'abord graphiquement, puis estime $G(1)$ par la méthode de Monte-Carlo avec un algorithme et un intervalle de confiance, et établit enfin $G(t) \leqslant 2 - \frac{1}{t}$ pour $t \geqslant 1$ ; le troisième est un vrai-faux sur une équation du second degré à paramètre, l'ensemble $|z - 6| = |z + 5\mathrm{i}|$ , la coplanarité de deux droites et un vecteur normal dans un cube. Au choix, les non-spécialistes étudient les suites $u_{n+1} = f(u_n)$ et $v_{n+1} = f(v_n)$ pour $f(x) = \frac{2 + 3x}{4 + x}$ , par monotonie pour la première et par l'encadrement $0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^n$ pour la seconde, et les spécialistes étudient une population de larves et d'adultes à l'aide de vecteurs propres de la matrice $A$ , puis l'équation $19x - 6y = 1$ et un PGCD.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Lois normales, probabilités totales et intervalle de fluctuation p. 1

Loi normale et vecteurs gaussiens · Conditionnement et indépendance · Statistique : estimation et tests · Probabilités totales et formule de Bayes — loi normale, probabilités totales, intervalle de fluctuation, échantillon représentatif, seuil de note

Exercice 2 — Intégrale de la gaussienne : méthode de Monte-Carlo et majoration p. 1–4

Intégrale sur un segment · Fonctions exponentielle et logarithme · Statistique : estimation et tests · Informatique et algorithmique · Dérivabilité · Variables à densité — $G(t) = \int_0^t g(u)\,\mathrm{d}u$ , $g(u) = \mathrm{e}^{-u^2}$ , méthode de Monte-Carlo, intervalle de confiance, $G(t) \leqslant 2 - \frac{1}{t}$ , algorithme

Exercice 3 — Vrai-faux : équation complexe à paramètre, ensemble de points, coplanarité de deux droites et vecteur normal p. 4–5

Nombres complexes · Géométrie vectorielle dans l'espace · Second degré — vrai-faux, $2z^2 + (m - 5)z + m = 0$ , $|z - 6| = |z + 5\mathrm{i}|$ , ensemble de points, coplanarité de deux droites, vecteur normal

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suites définies par une fonction homographique p. 5–6

Suites numériques · Dérivabilité — $f(x) = \frac{2 + 3x}{4 + x}$ , $u_{n+1} = f(u_n)$ , $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$ , $\ell = \frac{2 + 3\ell}{4 + \ell}$ , $0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^n$ , construction graphique des termes

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Population d'insectes par vecteurs propres, équation diophantienne et PGCD p. 6–7

Calcul matriciel · PGCD, Bézout, Gauss · Diagonalisation · Suites numériques — $X_{n+1} = AX_n$ , $AU = 1{,}25U$ , $AV = -0{,}75V$ , vecteur propre, $19x - 6y = 1$ , nombres premiers entre eux