AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2019 — Session normale, 21 juin 2019 (Métropole, La Réunion)

Fonction exponentielle, longueur d'arc et aire d'une serre, loi uniforme et loi normale puis suite arithmético-géométrique, vrai-faux (complexes, fonctions, algorithme), matrices entières de déterminant 1 ou plan et section d'un cube · 7 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie $f(x) = \frac{7}{2} - \frac{1}{2}(\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x})$ , montre que $f(x) = 0$ a deux solutions opposées $\pm\alpha$ , puis modélise un arceau de serre dont il calcule la hauteur, la longueur, double de l'intégrale $\int_0^{\alpha} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,\mathrm{d}x$ , et l'aire de bâche nécessaire. Le deuxième exercice compare une loi uniforme et une loi normale pour la durée de parties de jeux vidéo, puis étudie la suite $a_{n+1} = 0{,}5a_n + 0{,}3$ issue d'un arbre pondéré ; le troisième est un vrai-faux sur la nature d'un triangle, $u^{2019} + \overline{u}^{2019}$ , l'existence d'un maximum pour $f_n(x) = x\mathrm{e}^{-nx+1}$ , l'existence d'une asymptote et un algorithme. Les spécialistes étudient l'ensemble des matrices à coefficients entiers vérifiant $ad - bc = 1$ , avec l'équation $5x - 2y = 1$ et la conservation du PGCD, et les non-spécialistes établissent l'équation $4x + 4y - 3z - 1 = 0$ du plan $(FHK)$ , construisent la section du cube par le plan parallèle à $(FHK)$ passant par le milieu $I$ de $[EF]$ , puis étudient une droite orthogonale à ce plan.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonction exponentielle, théorème des valeurs intermédiaires, longueur d'une courbe et aire p. 1–2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité · Intégrale sur un segment — $f(x) = \frac{7}{2} - \frac{1}{2}(\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x})$ , fonction paire, théorème des valeurs intermédiaires, $I = \int_0^{\alpha} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,\mathrm{d}x$ , longueur d'une courbe, $\mathrm{e}^{\alpha} - \mathrm{e}^{-\alpha}$ , aire sous une courbe

Exercice 2 — Loi uniforme, loi normale, arbre pondéré et suite arithmético-géométrique p. 3–4

Loi normale et vecteurs gaussiens · Conditionnement et indépendance · Suites arithmétiques et géométriques · Probabilités totales et formule de Bayes — loi uniforme, loi normale, probabilités totales, $a_{n+1} = 0{,}5a_n + 0{,}3$ , $a_n = (a - 0{,}6) \times 0{,}5^{n-1} + 0{,}6$ , raisonnement par récurrence

Exercice 3 — Vrai-faux : nombres complexes, extremum, asymptote et algorithme p. 4–5

Nombres complexes · Dérivabilité · Limites de fonctions et asymptotes · Informatique et algorithmique · Fonctions exponentielle et logarithme — vrai-faux, $z^2 - 2\sqrt{3}z + 4 = 0$ , nature d'un triangle, $u^{2019} + \overline{u}^{2019}$ , $f_n(x) = x\mathrm{e}^{-nx+1}$ , $f(x) = \cos(x)\mathrm{e}^{-x}$ , recherche d'une asymptote

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Matrices entières de déterminant 1, équation de Bézout et PGCD p. 5

Calcul matriciel · PGCD, Bézout, Gauss · Suites numériques — $ad - bc = 1$ , $5x - 2y = 1$ , nombres premiers entre eux, matrice inverse $A^{-1}$ , conservation du PGCD, $x_0 = 2019$ , $y_0 = 673$

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Section d'un cube, plans parallèles et droite orthogonale p. 6–7

Géométrie vectorielle dans l'espace — section d'un cube, plan $(FHK)$ , $4x + 4y - 3z - 1 = 0$ , plans parallèles, représentation paramétrique, position relative de deux droites