AnnalesBaccalauréat

Bac Nouvelle-Calédonie Terminale 2016 — Session normale, 17 novembre 2016

Fonction exponentielle, valeurs intermédiaires et aire d'un massif, loi normale et prise de décision, transformation complexe, sections d'un cube, suite arithmético-géométrique ou récurrence d'ordre deux par les matrices · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie $f(x) = x\mathrm{e}^{-x} - 0{,}1$ , isole un zéro $\alpha$ par le théorème des valeurs intermédiaires puis calcule à l'aide d'une primitive l'aire d'un massif en forme de flamme délimité par la courbe et sa symétrique. Le deuxième exercice exploite la symétrie de la loi normale pour la masse de pots de confiture, détermine un écart-type, calcule une probabilité conditionnelle et décide au seuil de 95 % si la machine est bien réglée. Le troisième exercice étudie la transformation $z \mapsto z + \frac{1}{z}$ (forme exponentielle, équation $f(z) = 1$ , ensemble des points d'image réelle), et le quatrième trace des sections d'un cube et cherche une section en triangle équilatéral. Au choix, les non-spécialistes étudient la suite arithmético-géométrique $u_{n+1} = 0{,}8u_n + c$ d'une population d'abeilles, et les spécialistes la relation $u_{n+2} - u_{n+1} = 0{,}9(u_{n+1} - u_n)$ par les puissances d'une matrice, avec $A^n = PD^nP^{-1}$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonction $x \mapsto x\mathrm{e}^{-x} - 0{,}1$ : valeurs intermédiaires, primitive et aire d'un massif p. 1

Fonctions exponentielle et logarithme · Intégrale sur un segment · Continuité · Dérivabilité — limite en $+\infty$ , tableau de variations, théorème des valeurs intermédiaires, primitive $F(x) = -(x + 1)\mathrm{e}^{-x} - 0{,}1x$ , aire entre deux courbes symétriques, changement d'unité d'aire

Exercice 2 — Pots de confiture : loi normale, probabilité conditionnelle et intervalle de fluctuation p. 2

Loi normale et vecteurs gaussiens · Statistique : estimation et tests · Conditionnement et indépendance — symétrie de la loi normale, détermination de $\sigma$ , probabilité conditionnelle, intervalle de fluctuation, prise de décision au seuil de 95 %

Exercice 3 — Transformation $z \mapsto z + \frac{1}{z}$ : forme exponentielle, équation et ensemble de points p. 2

Nombres complexes · Second degré — forme exponentielle, équation du second degré à coefficients réels, $z = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ , cercle unité, ensemble de points, image réelle

Exercice 4 — Sections d'un cube par un plan et section en triangle équilatéral p. 3

Géométrie vectorielle dans l'espace — section d'un cube, construction sans justification, triangle équilatéral, annexe à rendre avec la copie

Exercice 5 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Population d'abeilles : suite arithmético-géométrique p. 3–4

Suites arithmétiques et géométriques — $u_{n+1} = 0{,}8u_n + c$ , conjecture de monotonie et de limite, raisonnement par récurrence, $u_n = 5 - 4 \times 0{,}8^n$ , suite géométrique auxiliaire, choix d'un paramètre

Exercice 5 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Colonie de fourmis : récurrence d'ordre deux et puissances d'une matrice p. 4

Calcul matriciel · Suites récurrentes linéaires · Diagonalisation — $V_{n+1} = AV_n$ , matrice inverse, $D = P^{-1}AP$ , $A^n = PD^nP^{-1}$ , raisonnement par récurrence, $u_n = 6 - 0{,}9^n$

Dans l'édifice

Exponentielle et logarithme Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Dérivabilité La loi normale Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Indépendance d'événements et de tribus Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Anneaux de polynômes Espaces vectoriels et sous-espaces Suites réelles et limites Matrices d'une application linéaire