AnnalesEnseignement

CAPES externe 2014 — Écrit disciplinaire appliqué

Points fixes, intégrale de Gauss et loi normale, géométrie du triangle · 5 pages

Le premier problème étudie l'existence et l'unicité de points fixes, la méthode de Héron vue comme méthode de Newton pour $x^2 - \alpha$ et sa convergence quadratique, puis démontre le théorème du point fixe pour une fonction contractante d'un segment stable. Le deuxième calcule l'intégrale de Gauss par les intégrales de Wallis et un encadrement de $e^{-t^2}$ , puis établit les propriétés de la loi normale et la loi du carré d'une gaussienne centrée réduite. Le troisième caractérise les triangles dont certaines droites remarquables sont perpendiculaires et en tire une construction à la règle dans un cube.

Le sujet, partie par partie

Problème 1, partie A — Existence et unicité de points fixes p. 1

Points fixes et suites itératives · Continuité — théorème des valeurs intermédiaires, point fixe, contre-exemple graphique, fonction monotone

Problème 1, partie B — Méthode de Héron p. 1–2

Méthode de Newton · Suites numériques · Points fixes et suites itératives · Enseignement et didactique — méthode de Héron, méthode de Newton, tangente, convergence quadratique, racine carrée

Problème 1, partie C — Un théorème du point fixe p. 2

Points fixes et suites itératives · Suites numériques — fonction contractante, intervalle stable, suite de Cauchy, convergence géométrique, théorème du point fixe

Problème 2, parties A et B — Intégrales de Wallis et intégrale de Gauss p. 3–4

Fonctions spéciales · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrale sur un segment · Formule de Stirling · Équivalents et comparaison · Inégalités classiques — intégrales de Wallis, intégrale de Gauss, changement de variable, encadrement, inégalité $\ln(1 + x) \leqslant x$

Problème 2, partie C — Loi normale p. 4

Loi normale et vecteurs gaussiens · Espérance, variance, moments · Variables à densité — densité de probabilité, loi normale centrée réduite, espérance, variance, carré d'une gaussienne, loi du khi-deux

Problème 3 — Géométrie du triangle p. 5

Géométrie affine et euclidienne · Enseignement et didactique — médiatrices, bissectrices, hauteurs, médianes, théorème de la médiane, projeté orthogonal, cube