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CAPES externe 2020 — Écrit disciplinaire appliqué

Moyennes de nombres positifs ; pentagone régulier et fractions continues · 13 pages

Le premier problème présente les moyennes arithmétique, quadratique, géométrique et harmonique à travers des situations concrètes et une figure du demi-cercle, les caractérise comme moyennes associées à une fonction, les compare pour $n$ nombres, puis aborde la loi faible des grands nombres via l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et le problème du chevalier de Méré. Le second construit le nombre d'or à partir du pentagone régulier et l'approche par une fraction continue dont les réduites sont des quotients de Fibonacci.

Le sujet, partie par partie

Problème 1, Partie A — Moyennes de deux nombres en situation p. 4–6

Enseignement et didactique · Géométrie affine et euclidienne — moyenne arithmétique, moyenne géométrique, moyenne harmonique, moyenne quadratique, taux d'évolution moyen, double pesée, théorème de Thalès

Problème 1, Parties B et C — Moyennes sur une figure et moyenne associée à une fonction p. 6–7

Géométrie affine et euclidienne · Continuité · Inégalités classiques — demi-cercle, hauteur d'un triangle rectangle, théorème des valeurs intermédiaires, moyenne quasi-arithmétique, fonction strictement monotone

Problème 1, Partie D — Moyennes de $n$ nombres positifs p. 7–8

Inégalité arithmético-géométrique · Inégalités classiques · Fonctions convexes — inégalité arithmético-géométrique, moyenne quadratique, moyenne harmonique, inégalité $\ln x \leqslant x - 1$ , cas d'égalité

Problème 1, Partie E — Moyennes de variables aléatoires p. 8–10

Lois de Bernoulli et binomiale · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Lois des grands nombres · Espérance, variance, moments · Enseignement et didactique · Statistique : estimation et tests · Espaces probabilisés — loi de Bernoulli, inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, fréquence, chevalier de Méré, Pascal et Fermat

Problème 2, Partie A — Pentagones réguliers p. 11–12

Géométrie affine et euclidienne · Irrationalité et approximation diophantienne · Enseignement et didactique — pentagone régulier, rotation, triangles semblables, cas d'égalité des triangles, nombre d'or

Problème 2, Partie B — Fractions continues p. 12–13

Fractions continues · Suites numériques · Informatique et algorithmique · PGCD, Bézout, Gauss · Nombres rationnels et décimaux — fraction continue, nombre d'or, suites adjacentes, suite de Fibonacci, vitesse de convergence, fonction Python