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CAPES externe 2022 — Écrit disciplinaire
Le premier problème est un vrai-faux de vingt-cinq assertions à justifier, portant sur les nombres, la géométrie plane et dans l'espace, les matrices, les suites, les probabilités et l'arithmétique. Le second développe la théorie des fonctions convexes d'une variable réelle : définition, inégalité de Jensen et inégalité arithmético-géométrique, inégalité des trois pentes, continuité et dérivées latérales, caractérisation des fonctions convexes dérivables, jusqu'à l'inégalité de Hölder.
Le sujet, partie par partie
Problème 1 — Vrai ou faux p. 3–4
Nombres rationnels et décimaux · Géométrie affine et euclidienne · Diagonalisation · Lois de Bernoulli et binomiale · Congruences et Z/nZ · Suites numériques · Irrationalité et approximation diophantienne · Applications linéaires et rang — vrai ou faux, nombres décimaux, irrationalité de , équation de droite, produit scalaire, matrices semblables, suites extraites, congruence modulo 53
Problème 2, I–II — Fonctions convexes : définition, propriétés et exemples p. 5–6
Fonctions convexes · Inégalité de Jensen · Inégalité arithmético-géométrique · Dérivabilité — inégalité de convexité, quantificateurs, concavité du logarithme, inégalité de Jensen, inégalité arithmético-géométrique, composition de fonctions convexes
Problème 2, III — Inégalité des trois pentes et conséquences p. 7
Fonctions convexes · Dérivabilité · Continuité — inégalité des trois pentes, taux d'accroissement croissant, théorème de la limite monotone, dérivées à gauche et à droite, continuité d'une fonction convexe
Problème 2, IV–V — Fonctions convexes dérivables et inégalité de Hölder p. 8
Fonctions convexes · Inégalités de Hölder et de Minkowski · Dérivabilité — dérivée croissante, courbe au-dessus de ses tangentes, théorème des accroissements finis, critère , inégalité de Hölder