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CCINP MP 2016 — Maths 1

Équation différentielle, famille sommable et fonction Digamma · 4 pages

Le sujet comporte un exercice sur les solutions développables en série entière de $x^2y'' + (x^2 - x)y' + 2y = 0$ et un exercice sur la famille sommable $((i+j)/2^{i+j})$ et le couple $(X, Y)$ de loi $P(X=i, Y=j) = (i+j)/2^{i+j+3}$ . Le problème étudie la fonction Digamma $\psi = \Gamma'/\Gamma$ : formule de Gauss par convergence dominée, formule de Weierstrass $1/\Gamma(x) = x e^{\gamma x} \prod (1+x/k) e^{-x/k}$ , puis $\psi(x) = -1/x - \gamma + \sum (1/k - 1/(k+x))$ , valeurs $\psi(1) = -\gamma$ et $\psi(n)$ , caractérisation de $\psi$ par une équation fonctionnelle, et application à une urne où l'on ajoute $k$ boules numéro $k$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Solutions développables en série entière p. 2

Équations linéaires d'ordre 2 · Séries entières — solution développable en série entière, équation à coefficients polynomiaux, rayon de convergence, relation de récurrence sur les coefficients

Exercice II — Famille sommable et couple de variables aléatoires p. 2

Familles sommables et produit de Cauchy · Couples et sommes de variables aléatoires · Conditionnement et indépendance — famille sommable, loi conjointe, lois marginales, indépendance de variables aléatoires, série double

Problème — Partie préliminaire : fonction Gamma et constante d'Euler p. 2–3

Fonctions Gamma et Bêta · Intégrales à paramètre · Comparaison série-intégrale · Intégrales généralisées et intégrabilité — fonction Gamma, constante d'Euler, dérivation sous le signe intégrale, intégrabilité

Problème — Expression de la fonction Digamma à l'aide d'une série p. 3

Fonctions Gamma et Bêta · Convergence dominée · Produits infinis · Interversion des limites · Convergence uniforme et normale — fonction digamma, formule de Gauss, formule de Weierstrass, convergence dominée, dérivation terme à terme

Problème — Propriétés de la fonction Digamma p. 4

Fonctions Gamma et Bêta · Équations fonctionnelles · Convergence uniforme et normale · Séries numériques — fonction digamma, équation fonctionnelle, convergence uniforme, intégrale de $e^{-t} \ln t$

Problème — Autour de la fonction Digamma : une urne p. 4

Probabilités totales et formule de Bayes · Espérance, variance, moments · Variables aléatoires et lois usuelles — tirages dans une urne, formule des probabilités totales, loi du second tirage, espérance

Dans l'édifice

Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques La demi-droite achevée et les sommes positives Indépendance d'événements et de tribus Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Intégrale de Riemann Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites, séries et parties compactes de ℂ Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Continuité Espérance, variance et inégalités Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle