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CCINP MP 2024 — Maths 1

Maximum de tirages avec remise, équation différentielle et deux calculs de $\zeta(2)$ · 4 pages

Un premier exercice établit la formule $E(X) = \sum P(X > k)$ et l'applique au plus grand numéro obtenu lors de $p$ tirages avec remise dans une urne de $n$ boules, dont il donne un équivalent de l'espérance par des sommes de Riemann. Un deuxième exercice résout l'équation $x^2y'' + 4xy' + (2 - x^2)y = 1$ sur $\left]0, +\infty\right[$ à l'aide d'une solution développable en série entière. Le problème calcule $\sum 1/n^2$ de deux façons : par les intégrales de Wallis et le développement en série entière d' $\operatorname{Arcsin}$ , puis par l'intégrale à paramètre $f(x) = \int_0^{+\infty} \operatorname{Arctan}(xt)/(1+t^2) \,\mathrm{d}t$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Espérance du maximum de tirages avec remise p. 2

Espérance, variance, moments · Variables aléatoires et lois usuelles · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Équivalents et comparaison — formule $E(X) = \sum P(X > k)$ , tirages avec remise, loi du maximum, sommes de Riemann, équivalent de l'espérance

Exercice II — Une équation différentielle linéaire d'ordre 2 p. 2

Équations linéaires d'ordre 2 · Séries entières · Espaces vectoriels et dimension — équation différentielle linéaire du second ordre, solution développable en série entière, espace des solutions, cosinus hyperbolique, raccordement en $0$

Problème, question préliminaire et Partie I — Intégrales de Wallis et $\operatorname{Arcsin}$ p. 3

Fonction zêta de Riemann · Séries entières · Interversion des limites · Intégrale sur un segment — problème de Bâle, intégrales de Wallis, développement en série entière d' $\operatorname{Arcsin}$ , intégration terme à terme, somme des $1/(2n+1)^2$

Problème, Partie II — Une intégrale à paramètre p. 4

Intégrales à paramètre · Fonction zêta de Riemann · Séries entières · Interversion des limites · Intégrales généralisées et intégrabilité — intégrale de $\ln x/(x^2 - 1)$ , intégrale à paramètre, fonction arctangente, dérivation sous l'intégrale, somme des $1/n^2$

Dans l'édifice

Espérance, variance et inégalités Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle Intégrale de Riemann Suites réelles et limites Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs La fonction zêta de Riemann et son prolongement Théorème fondamental de l'analyse Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann