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CCINP PC 2012 — Maths 2

Le polylogarithme · 4 pages

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Le sujet étudie la fonction polylogarithme, somme de la série entière des $x^n/n^\alpha$ : rayon de convergence, relation entre deux indices, valeurs pour $\alpha = 0, -1, 1$ et comportement en $1$ . Pour $\alpha > 1$ , il la prolonge à l'intervalle des $x$ inférieurs ou égaux à $1$ , puis au plan complexe privé de $\left]1, +\infty\right[$ , grâce à une représentation intégrale faisant intervenir la fonction Gamma, obtenue par intégration terme à terme. Le cas $\alpha = 2$ donne $\zeta(2)$ par Parseval, la valeur en $1/2$ par une relation fonctionnelle et un équivalent en moins l'infini.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Le polylogarithme p. 1–2

Séries entières · Séries numériques · Comparaison série-intégrale — polylogarithme, rayon de convergence, dérivation terme à terme, limite au bord du disque, minoration

Partie II — Prolongement pour $\alpha > 1$ p. 2–3

Intégrales à paramètre · Interversion des limites · Fonctions Gamma et Bêta · Séries entières · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence uniforme et normale — représentation intégrale, intégration terme à terme, fonction Gamma, continuité sous le signe intégrale, dérivation sous le signe intégrale, prolongement, domination

Partie III — Le cas $\alpha = 2$ p. 3–4

Formule de Parseval · Fonction zêta de Riemann · Équivalents et comparaison · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrale sur un segment · Séries de Fourier — dilogarithme, égalité de Parseval, $\zeta(2)$ , relation fonctionnelle, intégration par parties, équivalent en moins l'infini

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Intégrale de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Le système trigonométrique est une base hilbertienne La fonction zêta de Riemann et son prolongement Suites réelles et limites Théorème fondamental de l'analyse Système trigonométrique et coefficients de Fourier Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér