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CCINP PSI 2015 — Mathématiques

Systèmes différentiels linéaires $X' = A(t)X$ · 8 pages

Le sujet étudie le système $X'(t) = A(t)X(t)$ . Il résout d'abord des exemples d'ordre 2 en exploitant des vecteurs propres communs à toutes les matrices $A(t)$ , ce qui ramène le système à des équations scalaires du premier ordre. Pour $A$ constante, il montre à l'aide d'une norme subordonnée et de la formule de Taylor avec reste intégral que la solution est $X(t) = \sum t^k A^k X_0 / k!$ , et calcule les puissances d'une matrice $4 \times 4$ par division euclidienne de $X^k$ par le polynôme caractéristique. Il calcule enfin l'intégrale de Gauss, puis les intégrales $u(t)$ et $v(t)$ de $e^{-x}\cos(tx)/\sqrt{x}$ et $e^{-x}\sin(tx)/\sqrt{x}$ , solutions d'un système différentiel.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Quelques exemples d'étude d'un système différentiel p. 2–4

Systèmes différentiels linéaires · Réduction des endomorphismes · Théorème de Cauchy-Lipschitz · Équations différentielles linéaires — système différentiel linéaire, vecteurs propres communs, théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, base de solutions, coefficients variables

Partie II — Développement en série entière des solutions pour $A$ constante p. 4–5

Exponentielle de matrices · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Systèmes différentiels linéaires · Séries entières · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Polynômes · Dérivabilité — norme subordonnée, formule de Taylor avec reste intégral, exponentielle de matrice, division euclidienne par le polynôme caractéristique, puissances d'une matrice, problème de Cauchy

Partie III — Étude de deux fonctions p. 6–7

Intégrales à paramètre · Fonctions spéciales · Systèmes différentiels linéaires · Intégrales généralisées et intégrabilité · Diagonalisation · Équations différentielles linéaires — intégrale de Gauss, dérivation sous le signe intégral, intégrale à paramètre, valeurs propres complexes, solution générale

Dans l'édifice

Systèmes linéaires et exponentielle de matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Théorème de Cauchy-Lipschitz local Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Applications linéaires continues et dual topologique Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Anneaux de polynômes Dérivabilité Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée La fonction zêta de Riemann et son prolongement Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann