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Centrale-Supélec MP 2019 — Maths 1

Endomorphismes cycliques, commutant et décomposition de Frobenius · 4 pages

Le sujet étudie les endomorphismes cycliques, c'est-à-dire ceux qui admettent une base de la forme $(x_0, f(x_0), \ldots, f^{n-1}(x_0))$ , à travers leurs matrices compagnons ; il en tire une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton et montre, sur $\mathbb{C}$ , que $f$ est cyclique dès que $(\mathrm{Id}, f, \ldots, f^{n-1})$ est libre. Il établit ensuite que le commutant d'un endomorphisme cyclique est $\mathbb{K}[f]$ , démontre la décomposition de Frobenius en blocs compagnons et en déduit que $\dim \mathcal{C}(f) \geqslant n$ ; il termine par les isométries et les nilpotents « orthocycliques » d'un espace euclidien.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Matrices compagnons et endomorphismes cycliques p. 1–2

Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Diagonalisation · Sous-espaces stables — matrice compagnon, endomorphisme cyclique, transposée, polynôme caractéristique, polynôme minimal, racines simples

Partie II — Étude des endomorphismes cycliques p. 2–3

Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynômes d'endomorphismes · Sous-espaces stables · Matrices par blocs — indice de nilpotence, lemme des noyaux, sous-espaces caractéristiques, blocs de Jordan, vecteur cyclique

Partie III — Endomorphismes commutants, décomposition de Frobenius p. 3–4

Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Algèbres et sous-algèbres · Sous-espaces stables · Polynômes d'endomorphismes · Espaces vectoriels et dimension · Dualité · Anneaux et idéaux — commutant, décomposition de Frobenius, invariants de similitude, polynôme minimal local, réunion de sous-espaces vectoriels, forme coordonnée

Partie IV — Endomorphismes orthocycliques p. 4

Isométries et groupe orthogonal · Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Nilpotents, Jordan, Dunford · Trigonalisation · Matrices orthogonales et rotations · Espaces préhilbertiens et euclidiens — isométrie vectorielle, base orthonormale, matrice compagnon, trigonalisation en base orthonormale, endomorphisme nilpotent de rang $n-1$

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Applications linéaires Anneaux de polynômes Modules sur un anneau commutatif Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Espace dual Anneaux Idéaux d'un anneau commutatif Anneau quotient et théorème d'isomorphisme Idéaux premiers et maximaux Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz