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Centrale-Supélec MPI 2023 — Maths 2

Théorème de Moivre-Laplace et marche aléatoire symétrique · 5 pages

Le sujet calcule l'intégrale de Gauss à partir des intégrales $I_n = \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{(1 + t^2)^n}$ , donne l'équivalent $\varphi(x)/x$ de $1 - \Phi(x)$ en $+\infty$ et démontre une inégalité maximale pour les sommes de variables indépendantes. Il montre ensuite, par la formule de Stirling, que les fonctions en escalier $B_n$ construites sur la loi binomiale $\mathcal{B}(n, 1/2)$ convergent uniformément vers la densité gaussienne $\varphi$ . Il en déduit le théorème central limite pour la marche aléatoire symétrique $S_n$ , sous la forme $P(u \leqslant S_n/\sqrt{n} \leqslant v) \to \int_u^v \varphi$ , puis un critère de tension pour $\max |S_p|$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I.A — Calcul d'une intégrale classique p. 1–2

Intégrales généralisées et intégrabilité · Équivalents et comparaison · Convergence dominée · Suites numériques · Intégrale sur un segment · Fonctions spéciales — intégrale de Gauss, intégrales de $1/(1 + t^2)^n$ , relation de récurrence, théorème de convergence dominée, changement de variable

Parties I.B et I.C — Queue de la loi normale et inégalité maximale p. 2–3

Équivalents et comparaison · Inégalités probabilistes · Loi normale et vecteurs gaussiens · Intégrales généralisées et intégrabilité · Espaces probabilisés — fonction de répartition de la loi normale, équivalent de la queue gaussienne, inégalité maximale, inégalité maximale d'Etemadi, décomposition en événements disjoints

Partie II — Étude d'une suite de fonctions p. 3–4

Convergence uniforme et normale · Formule de Stirling · Lois de Bernoulli et binomiale · Développements limités · Loi normale et vecteurs gaussiens — convergence uniforme, formule de Stirling, coefficients binomiaux centraux, densité gaussienne, fonction en escalier, développement limité

Partie III — Applications : théorème central limite et critère de tension p. 4–5

Théorème central limite et convergence en loi · Marches aléatoires · Lois de Bernoulli et binomiale · Convergence uniforme et normale · Inégalités probabilistes — théorème de Moivre-Laplace, marche aléatoire symétrique, théorème central limite, variables de Rademacher, tension, inégalité maximale

Dans l'édifice

Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites réelles et limites Théorème de convergence dominée Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse La fonction zêta de Riemann et son prolongement Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Moments exponentiels et inégalité de Hoeffding Espérance, variance et inégalités La loi normale Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Dérivabilité Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Indépendance d'événements et de tribus