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Centrale-Supélec PC 2018 — Maths 1

Équation de diffusion · 4 pages

Le sujet établit des propriétés de la transformée de Fourier des fonctions intégrables (continuité, transformée de la dérivée, transformée de la gaussienne) et les utilise pour montrer que l'unique solution régulière et dominée de l'équation de la chaleur $\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ de donnée initiale $g_\sigma$ est $(t, x) \mapsto g_{\sqrt{\sigma^2+2t}}(x)$ . Il étudie ensuite la stabilité du schéma explicite aux différences finies, qui se ramène au spectre $\{2\cos(j\pi/(q+1))\}$ d'une matrice tridiagonale et donne la condition $r = \tau/\delta^2 \leqslant 1/2$ , puis interprète cette condition à l'aide d'une marche aléatoire simple de pas $\delta$ .

Le sujet, partie par partie

I — Préliminaires p. 1–2

Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrales à paramètre · Interversion des limites · Dérivabilité — transformée de Fourier, gaussienne, intégrale de Gauss, continuité sous l'intégrale, intégration terme à terme, transformée de la dérivée

II — Équation de diffusion avec une condition initiale gaussienne p. 2–3

Équations aux dérivées partielles · Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales à paramètre · Convergence dominée · Équations différentielles linéaires — équation de la chaleur, condition initiale gaussienne, dérivation sous l'intégrale, injectivité de la transformée de Fourier, unicité de la solution

III — Étude numérique p. 3–4

Schémas aux différences finies · Diagonalisation · Matrices remarquables · Analyse numérique · Suites récurrentes linéaires · Théorème spectral — schéma aux différences finies, stabilité d'un schéma numérique, matrice tridiagonale, valeurs propres, récurrence linéaire d'ordre 2, suite de matrices bornée

IV — Équation de diffusion et marche aléatoire p. 4

Marches aléatoires · Lois de Bernoulli et binomiale · Espérance, variance, moments · Coefficients binomiaux · Équivalents et comparaison · Schémas aux différences finies — variable de Rademacher, marche aléatoire simple, loi binomiale, variance, parité, équation de diffusion discrète

Dans l'édifice

Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Une série entière est holomorphe Dérivabilité Fonctions de classe Cᵏ Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Matrices d'une application linéaire Théorème du point fixe de Banach Suites réelles et limites Espaces de Hilbert et théorème de projection Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Ensembles finis et principe des tiroirs