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Centrale-Supélec PC 2019 — Maths 2

Nombres d'Euler, tangente et permutations alternantes · 4 pages

Le sujet définit les entiers $\alpha_n = f^{(n)}(0)$ pour $f(x) = (\sin x + 1)/\cos x$ , montre que $f$ est développable en série entière de rayon $\pi/2$ grâce à l'équation $2f' = f^2 + 1$ , et relie les $\alpha_n$ d'indice impair au développement de $\tan$ . À l'aide d'intégrales de type Wallis, il établit la formule du produit de $\sin(\pi x)$ et le développement $\pi \tan(\pi x) = \sum 2(2^{2p} - 1) \zeta(2p) x^{2p-1}$ , d'où un équivalent de $\alpha_{2n+1}$ . Il montre enfin que $\alpha_n$ compte les permutations alternantes de $[\![1, n]\!]$ et en déduit la probabilité asymptotique d'être alternante et la limite $(\sin 1 + 1)/\cos 1$ d'une espérance.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Introduction d'une fonction auxiliaire p. 1–2

Séries entières · Dérivabilité · Polynômes · Équations différentielles non linéaires · Coefficients binomiaux — dérivées successives, formule de Taylor avec reste intégral, rayon de convergence, formule de Leibniz, développement en série entière de $\tan$ , partie paire et partie impaire, nombres d'Euler

Partie II — Équivalent de $\alpha_{2n+1}$ p. 2–3

Fonction zêta de Riemann · Produits infinis · Intégrales à paramètre · Comparaison série-intégrale · Séries entières · Interversion des limites · Équivalents et comparaison — fonction zêta, intégrales de Wallis, formule du produit pour $\sin(\pi x)$ , dérivée logarithmique, $\zeta(2p)$ , développement de $\pi \tan(\pi x)$ , équivalent

Partie III — Permutations alternantes p. 4

Dénombrement de configurations · Groupe symétrique · Espérance, variance, moments · Coefficients binomiaux · Espaces probabilisés · Équivalents et comparaison — permutation alternante, relation de récurrence, probabilité uniforme, espérance par la formule des queues, nombres d'Euler, nombres zigzag

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Dérivabilité Anneaux de polynômes Théorème de Cauchy-Lipschitz local Solutions maximales et critère d'explosion Lemme de Grönwall et dépendance par rapport aux conditions initiales Flot d'un champ de vecteurs Ensembles finis et principe des tiroirs La fonction zêta de Riemann et son prolongement Suites, séries et parties compactes de ℂ Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Intégrale de Riemann Suites réelles et limites Groupe symétrique et signature Espérance, variance et inégalités Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles