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Centrale-Supélec PC 2021 — Maths 1

Marche aléatoire, nombres de Catalan et déterminants de Hankel · 4 pages

Le sujet étudie le premier retour à l'origine $T$ d'une marche aléatoire sur $\mathbb{Z}$ de paramètre $p$ , dont la loi s'exprime par les nombres de Catalan $C_n$ qui comptent les chemins de Dyck. La série génératrice des $C_n$ donne $\mathbb{P}(T \neq 0) = 1 - \sqrt{1 - 4p(1 - p)}$ , l'expression $C_n = \binom{2n}{n}/(n + 1)$ et l'absence d'espérance de $T$ pour $p = 1/2$ . Il montre ensuite que le déterminant de Gram des $X^i$ vaut le produit des $\|V_i\|^2$ pour un système orthogonal unitaire, et l'applique à un produit scalaire à poids dont les moments sont les $C_n$ pour obtenir la valeur des déterminants de Hankel des nombres de Catalan.

Le sujet, partie par partie

Partie I.A et I.B — Marche aléatoire sur $\mathbb{Z}$ , chemins de Dyck et loi du premier retour p. 1–3

Marches aléatoires · Nombres de Catalan et chemins · Fonctions génératrices · Lois de Bernoulli et binomiale · Séries entières · Espérance, variance, moments — chemins de Dyck, nombres de Catalan, temps de premier retour, série génératrice, relation de récurrence de Catalan, marche récurrente

Partie I.C — Expression des nombres de Catalan et équivalent p. 3

Nombres de Catalan et chemins · Séries entières · Formule de Stirling · Coefficients binomiaux · Équivalents et comparaison · Espérance, variance, moments — développement de racine de $1 + x$ , coefficient binomial central, formule de Stirling, équivalent des nombres de Catalan

Partie II — Calcul d'un déterminant à l'aide d'un système orthogonal p. 3

Polynômes orthogonaux · Procédé de Gram-Schmidt · Déterminants · Espaces préhilbertiens et euclidiens — matrice de Gram, système orthogonal, polynômes unitaires, matrice de passage triangulaire, déterminant de Gram

Partie III — Déterminant de Hankel des nombres de Catalan p. 4

Polynômes orthogonaux · Déterminants · Nombres de Catalan et chemins · Intégrales généralisées et intégrabilité · Polynômes de Tchebychev · Suites récurrentes linéaires · Fonctions Gamma et Bêta — déterminant de Hankel, moments d'un produit scalaire, polynômes de Tchebychev de seconde espèce, intégration par parties, relation de récurrence à trois termes

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Séries entières et rayon de convergence Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Espérance, variance et inégalités Intégrale de Riemann Suites réelles et limites Anneaux de polynômes Espaces de Hilbert et théorème de projection Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Théorème de représentation de Riesz Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Matrices d'une application linéaire Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre