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Centrale-Supélec PSI 2016 — Maths 1

Matrices à coefficients dans $\{0, 1\}$ · 3 pages

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Le sujet étudie, à travers quatre parties indépendantes, les matrices dont les coefficients sont dans $\{0, 1\}$ et celles dont les coefficients sont dans $[0, 1]$ . Il établit des propriétés élémentaires (cardinal, compacité et convexité, majoration du déterminant et du spectre), calcule la projection sur l'ensemble des matrices à coefficients dans $[0, 1]$ et montre que le maximum du déterminant est le même sur les deux ensembles et tend vers l'infini. Il caractérise ensuite les matrices de permutation comme matrices orthogonales à coefficients $0$ ou $1$ , puis comme matrices inversibles à coefficients entiers naturels dont les puissances ont un ensemble fini de coefficients, et détermine les sous-espaces stables par toutes les matrices de permutation puis étudie deux modèles de matrices aléatoires : $M = U\,{}^t\!U$ construite à partir d'une colonne de variables de Bernoulli, et un remplissage aléatoire par vagues dont on cherche le temps de remplissage total, avec simulation en Python.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Généralités p. 1

Calcul matriciel · Déterminants · Compacité · Ensembles convexes · Réduction des endomorphismes · Espaces vectoriels et dimension · Diagonalisation — matrices à coefficients $0$ ou $1$ , cardinal d'un ensemble de matrices, majoration du déterminant, module des valeurs propres, famille génératrice de $\mathcal{M}_2$

Partie II — Deux problèmes d'optimisation p. 1–2

Projection orthogonale et moindres carrés · Déterminants · Extrema et optimisation · Compacité · Ensembles convexes · Espaces préhilbertiens et euclidiens — produit scalaire $\operatorname{tr}({}^t\!M N)$ , projection sur un convexe fermé, maximum du déterminant, matrice $J - I$ , déterminant affine en un coefficient

Partie III — Matrices de permutations p. 2

Matrices orthogonales et rotations · Groupe symétrique · Sous-espaces stables · Diagonalisation · Isométries et groupe orthogonal · Déterminants — matrice de permutation, isométrie vectorielle, ordre d'une permutation, vecteurs propres communs, hyperplan orthogonal à $e_1 + \dots + e_n$ , matrice à puissances bornées

Partie IV — Matrices aléatoires de $\mathcal{X}_n$ p. 2–3

Lois de Bernoulli et binomiale · Loi géométrique · Matrices et graphes aléatoires · Espérance, variance, moments · Informatique et algorithmique · Conditionnement et indépendance · Projection orthogonale et moindres carrés · Diagonalisation — matrice aléatoire $U\,{}^t\!U$ , loi conditionnelle, temps de remplissage, maximum de variables géométriques, simulation Python, matrice de rang 1