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Centrale-Supélec PSI 2024 — Maths 2

Autour de la série harmonique et de la constante d'Euler · 5 pages

Le sujet établit la convergence de $H_n - \ln n$ vers la constante d'Euler $\gamma$ , l'applique au problème du collectionneur de vignettes (espérance $n(\ln n + \gamma + o(1))$ , variance majorée par $n^2\pi^2/6$ , concentration de $N_n/(n \ln n)$ autour de $1$ ), puis obtient plusieurs expressions intégrales de $\gamma$ , notamment via la fonction $\Gamma$ et la formule de Weierstrass ( $\Gamma'(1) = -\gamma$ ). Il propose une approximation numérique de $\gamma$ et étudie la somme de la série entière $\sum \ln(n) x^n$ aux bornes de son intervalle de convergence.

Le sujet, partie par partie

I — Convergence de la suite $(a_n)$ p. 1

Équivalents et comparaison · Séries numériques — série harmonique, constante d'Euler, série télescopique

II — Problème du collectionneur p. 1–2

Loi géométrique · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Espérance, variance, moments · Couples et sommes de variables aléatoires · Équivalents et comparaison — problème du collectionneur de vignettes, loi géométrique, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, variance d'une somme indépendante, convergence en probabilité

III — Première expression intégrale de $\gamma$ p. 2

Interversion des limites · Intégrales généralisées et intégrabilité · Séries numériques — intégration terme à terme, intégrale de Frullani, constante d'Euler

IV — Deuxième expression intégrale de $\gamma$ p. 2–3

Convergence dominée · Intégrales généralisées et intégrabilité · Dérivabilité · Intégrale sur un segment — convergence dominée, limite de $(1 - t/n)^n$ , inégalité des accroissements finis, changement de variable affine

V — Deux autres expressions intégrales de $\gamma$ p. 3–4

Fonctions Gamma et Bêta · Intégrales à paramètre · Interversion des limites · Produits infinis — fonction Gamma, formule de Weierstrass, dérivée logarithmique de $\Gamma$ , $\Gamma'(1) = -\gamma$ , changement de variables

VI — Valeur approchée de $\gamma$ p. 4

Analyse numérique · Intégrales généralisées et intégrabilité · Séries numériques — intégration par parties, majoration du reste, valeur approchée de $\gamma$

VII — La série entière de terme général $\ln(n) x^n$ p. 4–5

Séries entières · Équivalents et comparaison · Familles sommables et produit de Cauchy · Séries alternées · Convergence uniforme et normale — rayon de convergence, comportement au bord, produit de Cauchy, formule de Wallis

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Indépendance d'événements et de tribus Une série entière est holomorphe Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de convergence dominée Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème du point fixe de Banach Séries entières et rayon de convergence Les fonctions holomorphes sont analytiques Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes

Centrale-Supélec PSI 2024 — Maths 2

Le sujet, partie par partie

I — Convergence de la suite (an)(a_n) p. 1

II — Problème du collectionneur p. 1–2

III — Première expression intégrale de γ\gamma p. 2

IV — Deuxième expression intégrale de γ\gamma p. 2–3

V — Deux autres expressions intégrales de γ\gamma p. 3–4

VI — Valeur approchée de γ\gamma p. 4

VII — La série entière de terme général ln⁡(n)xn\ln(n) x^n p. 4–5