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e3a-Polytech MP 2011 — Maths 2

Commutant d'une matrice cyclique d'ordre 3, équivalent d'une série trigonométrique, volume de l'intersection de deux cylindres · 4 pages

Sujet (PDF)

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Le premier exercice montre, en distinguant trois cas selon la forme du polynôme minimal, que le commutant d'une matrice $A$ de $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ dont le polynôme caractéristique est égal au polynôme minimal est l'ensemble des polynômes en $A$ . Le deuxième représente la somme de la série des $\sin(nx)/\sqrt{n}$ par une intégrale faisant intervenir $\operatorname{ch}(t^2) - \cos x$ , ce qui en donne un équivalent quand $x$ tend vers $0$ . Le troisième calcule le volume de l'intersection de deux cylindres $x^2 + z^2 \leqslant 1$ et $y^2 + z^2 \leqslant 1$ et l'aire d'une portion de surface.

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Commutant d'une matrice dont le polynôme minimal est le polynôme caractéristique p. 1–2

Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Polynômes d'endomorphismes · Algèbres et sous-algèbres · Diagonalisation · Nilpotents, Jordan, Dunford · Interpolation polynomiale · Matrices par blocs — commutant, polynôme minimal, vecteur cyclique, lemme des noyaux, interpolation de Lagrange, endomorphisme nilpotent d'indice 3

Exercice II — Équivalent de la somme de la série des $\sin(nx)/\sqrt{n}$ p. 3

Intégrales à paramètre · Équivalents et comparaison · Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonctions Gamma et Bêta · Interversion des limites · Séries numériques — intégrale à paramètre, cosinus hyperbolique, $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ , interversion série intégrale, équivalent en $0$ , série trigonométrique

Exercice III — Volume et aire liés à deux cylindres p. 4

Intégrales multiples · Coniques et quadriques · Courbes et surfaces — quadrique, cylindre de révolution, intersection de deux cylindres, volume d'un solide, aire d'une surface, section plane

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Anneaux de polynômes Modules sur un anneau commutatif Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Suites réelles et limites Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Une série entière est holomorphe Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit Espaces vectoriels et sous-espaces Sous-variétés de ℝⁿ Espace tangent à une sous-variété