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e3a-Polytech MP 2025 — Mathématiques

Extrema sous contrainte, transformée de Fourier discrète et série entière $\sum x^n/(n!)^2$ · 4 pages

Trois exercices indépendants. Le premier cherche le minimum d'une norme euclidienne sur un hyperplan affine par trois méthodes : réduction des variables, condition d'extremum lié, distance à un sous-espace. Le deuxième étudie la matrice de la transformée de Fourier discrète, ses puissances et ses éléments propres. Le troisième étudie la fonction somme de la série entière $\sum x^n/(n!)^2$ , sa régularité, son comportement en $0$ et une intégrale associée.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Extrema sous contrainte par trois méthodes p. 2

Extrema liés et multiplicateurs de Lagrange · Projection orthogonale et moindres carrés · Calcul différentiel — extrema liés, condition de Lagrange, projection orthogonale, distance à un sous-espace, hyperplan affine

Exercice 2 — Matrice de la transformée de Fourier discrète p. 2–3

Diagonalisation · Nombres complexes · Polynômes · Matrices remarquables · Sous-espaces stables · Polynômes d'endomorphismes — transformée de Fourier discrète, racines de l'unité, matrice de Vandermonde, $A^4 = I_n$ , sous-espaces stables, valeurs propres

Exercice 3 — La série entière $\sum x^n/(n!)^2$ p. 4

Séries entières · Intégrales généralisées et intégrabilité · Équivalents et comparaison · Fractions rationnelles · Dérivabilité — développement en série entière, fonction lipschitzienne, équivalent, décomposition en éléments simples, intégrale impropre, limite en $+\infty$

Dans l'édifice

Applications différentiables Espaces de Hilbert et théorème de projection Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Matrices d'une application linéaire Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Anneaux de polynômes Applications linéaires Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites réelles et limites Corps des fractions d'un anneau intègre Dérivabilité