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e3a-Polytech PC 2021 — Mathématiques

Quatre exercices : séries alternées, endomorphisme intégral, nombres de Fibonacci, interpolation de Lagrange · 4 pages

Le premier exercice calcule $\ln 2$ et la somme $\sum (-1)^n/((2n+1)(2n+2))$ par intégration terme à terme. Le deuxième étudie l'endomorphisme $L$ de $\mathbb{R}_n[X]$ défini par une intégrale de $-\infty$ à $x$ , montre que c'est un automorphisme dont l'inverse est $D + \mathrm{Id}$ et qu'il n'est pas diagonalisable. Le troisième relie les nombres de Fibonacci au nombre d'or et calcule l'exponentielle de la matrice associée ; le quatrième munit $\mathbb{R}_n[X]$ d'un produit scalaire d'évaluation pour lequel la base de Lagrange est orthonormée, et calcule une distance à un hyperplan.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Séries alternées et intégration terme à terme p. 2

Séries alternées · Interversion des limites · Séries entières · Intégrale sur un segment — série harmonique alternée, intégration terme à terme, $\ln 2$ , arctangente, rayon de convergence

Exercice 2 — Un endomorphisme intégral de $\mathbb{R}_n[X]$ p. 2–3

Diagonalisation · Applications linéaires et rang · Équations différentielles linéaires · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrale sur un segment · Calcul matriciel — endomorphisme de dérivation, automorphisme, valeurs propres, équation $y' + y = f$ , matrice dans la base canonique

Exercice 3 — Suite de Fibonacci et exponentielle de matrice p. 3–4

Suites récurrentes linéaires · Exponentielle de matrices · Diagonalisation · Calcul matriciel — suite de Fibonacci, nombre d'or, récurrence linéaire d'ordre 2, matrices semblables, exponentielle d'une matrice

Exercice 4 — Produit scalaire et polynômes de Lagrange p. 4

Interpolation polynomiale · Projection orthogonale et moindres carrés · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Polynômes — polynômes interpolateurs de Lagrange, base orthonormée, orthogonal d'un hyperplan, distance à un sous-espace

Dans l'édifice

Suites, séries et parties compactes de ℂ Une série entière est holomorphe Séries entières et rayon de convergence Les fonctions holomorphes sont analytiques Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Théorème du rang Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites réelles et limites L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Anneaux de polynômes Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz