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e3a-Polytech PC 2026 — Mathématiques

Un endomorphisme antisymétrique de $\mathbb{R}^5$ , une transformation intégrale et la variance maximale d'une variable à trois valeurs · 4 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Trois exercices indépendants. Le premier étudie l'endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^5$ de matrice antisymétrique tridiagonale : $f^2$ est symétrique, $0$ est la seule valeur propre réelle de $f$ , $E = \operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Im} f$ , et $M$ est semblable à une matrice diagonale par blocs. Le deuxième étudie la transformation $f \mapsto F$ , $F(x) = \int_0^1 \frac{f(t)}{x+t}\,\mathrm{d}t$ , pour $f(t) = t^n$ puis $f(t) = e^t$ , jusqu'à un équivalent en $0$ . Le troisième cherche les lois sur $\{1, 2, 3\}$ de variance maximale et minimale en optimisant une fonction de deux variables sur un triangle.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Un endomorphisme antisymétrique de $\mathbb{R}^5$ p. 2–3

Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Diagonalisation · Sous-espaces stables · Théorème spectral · Déterminants — matrice antisymétrique, endomorphisme symétrique, valeurs propres de $f^2$ , somme directe du noyau et de l'image, plan stable, matrice semblable

Exercice 2 — La transformation $f \mapsto F$ avec $F(x) = \int \frac{f(t)}{x+t}$ p. 3–4

Intégrales à paramètre · Équivalents et comparaison · Intégrale sur un segment · Développements limités · Intégrales généralisées et intégrabilité — intégrale fonction de sa borne, changement de variable, relation de récurrence, logarithme, équivalent en $0$

Exercice 3 — Variance maximale et minimale p. 4

Espérance, variance, moments · Extrema et optimisation · Points critiques et hessienne · Compacité · Calcul différentiel — variance, variable aléatoire à trois valeurs, extremum sur un compact, gradient, point critique, bord d'un triangle

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Suites réelles et limites Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Dérivabilité Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Espérance, variance et inégalités Applications différentiables Compacité Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis