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e3a-Polytech PSI 2015 — Mathématiques

Parcours du cavalier, diagonalisation aléatoire, intégrale à paramètre et matrices trigonalisables · 5 pages

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Le sujet comporte quatre exercices indépendants. Le premier fait écrire en Python une recherche par retour sur trace d'un parcours du cavalier sur l'échiquier, avec détection des situations bloquantes puis tri fusion des cases par nombre de coups possibles (heuristique de Warnsdorff). Le deuxième calcule la probabilité qu'une matrice $2\times 2$ à coefficients aléatoires soit diagonalisable, à l'aide de fonctions génératrices ; le troisième étudie $f(x) = \int \mathrm{d}t/(t^x \sqrt{t^2 - 1})$ sur $\left[1, +\infty\right[$ (relation $f(x+2) = x f(x)/(x+1)$ , fonction $xf(x)f(x+1)$ constante, équivalents en $0$ et en $+\infty$ ) ; le quatrième montre qu'un polynôme unitaire est scindé sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $|P(z)| \geqslant |\operatorname{Im} z|^{\deg P}$ et en déduit que l'ensemble des matrices trigonalisables est fermé.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Parcours du cavalier sur un échiquier p. 1–3

Informatique et algorithmique · Graphes — Python, retour sur trace, récursivité, tri fusion, parcours du cavalier, listes, heuristique de Warnsdorff

Exercice 2 — Probabilité qu'une matrice aléatoire soit diagonalisable p. 4

Fonctions génératrices · Diagonalisation · Couples et sommes de variables aléatoires · Ensembles et dénombrabilité · Espérance, variance, moments · Espaces probabilisés · Loi géométrique — fonction génératrice, somme de variables indépendantes, matrice $2\times 2$ diagonalisable, ensemble dénombrable, loi géométrique sur $\mathbb{N}$

Exercice 3 — Une intégrale à paramètre p. 4–5

Intégrales à paramètre · Équivalents et comparaison · Intégrales généralisées et intégrabilité · Formule de Stirling · Fonctions Gamma et Bêta · Équations fonctionnelles — intégrale à paramètre, dérivation sous l'intégrale, relation de récurrence, intégration par parties, fonction 1-périodique constante, intégrales de Wallis

Exercice 4 — Fermeture de l'ensemble des matrices trigonalisables p. 5

Trigonalisation · Topologie des espaces de matrices · Racines et relations coefficients-racines · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Diagonalisation — polynôme scindé, polynôme caractéristique, matrices trigonalisables fermées, matrices diagonalisables non fermées, partie imaginaire