AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Mines-Ponts MP 2019 — Maths 1

Comportement asymptotique de sommes de séries entières et application à l'équation d'Airy · 6 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : archive officielle (ZIP)

Le sujet établit l'équivalent $S_{r,p}(x) \sim x^r e^x / p$ en $+\infty$ pour $S_{r,p}(z) =$ somme des $(pn)^r z^{pn}/(pn)!$ . Il montre d'abord que le cas $p \geqslant 2$ se ramène au cas $p = 1$ en sommant sur les racines $p$ -ièmes de l'unité, traite le cas $p = 1$ et $r > 0$ par une méthode probabiliste reposant sur la loi de Poisson, puis étend le résultat à $r$ réel grâce à un lemme de comparaison des séries entières. Il en déduit, via la formule d'Euler pour $\Gamma$ , un équivalent en $+\infty$ de la solution de l'équation d'Airy $x'' = t x$ telle que $f(0) = 1$ et $f'(0) = 0$ .

Le sujet, partie par partie

Question préliminaire et Partie A — Équivalence entre $(H_{r,p})$ et $(H_{r,1})$ lorsque $r > 0$ p. 2–3

Équivalents et comparaison · Séries entières · Nombres complexes · Suites numériques · Séries numériques — rayon de convergence, terme maximal d'une série entière, transformation d'Abel, racines $p$ -ièmes de l'unité, négligeabilité

Partie B — Une démonstration probabiliste p. 4

Loi de Poisson · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Espérance, variance, moments · Polynômes — loi de Poisson, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, moments factoriels, fonction indicatrice, espérance finie

Lemme de comparaison asymptotique et Partie C — Application à l'équation d'Airy p. 5–6

Équations linéaires d'ordre 2 · Séries entières · Fonctions Gamma et Bêta · Équivalents et comparaison · Théorème de Cauchy-Lipschitz · Séries numériques · Formule de Stirling — équation d'Airy, formule d'Euler pour Gamma, solution développable en série entière, lemme de comparaison asymptotique des séries entières, équivalent en l'infini

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Lois de Poisson et loi exponentielle Espérance, variance et inégalités Anneaux de polynômes Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de Cauchy-Lipschitz local Intégrale de Riemann