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Mines-Ponts MPI 2025 — Maths 1

Inégalités de Khintchine · 6 pages

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Le sujet établit, pour une somme de variables de Rademacher indépendantes, l'inégalité de déviation de Hoeffding puis les inégalités de Khintchine, qui comparent les moments d'ordre $p$ à la norme quadratique des coefficients. Il en déduit que toutes les normes $L^p$ sont équivalentes sur l'espace engendré par ces variables, et construit un sous-espace de dimension $k$ de $\mathbb{R}^{2^k}$ sur lequel les normes 1 et 2 sont proportionnelles à constantes près.

Le sujet, partie par partie

Notations et inégalité de Hölder p. 2–3

Inégalités de Hölder et de Minkowski · Espérance, variance, moments · Fonctions convexes · Inégalité de Cauchy-Schwarz — inégalité de Hölder, inégalité de Young, inégalité de Cauchy-Schwarz, espace probabilisé fini, loi de Rademacher

Une inégalité de déviation p. 3

Inégalités de concentration · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Espérance, variance, moments · Variables aléatoires et lois usuelles · Séries entières — inégalité de Hoeffding, inégalité de Markov, variables de Rademacher, cosinus hyperbolique, majoration exponentielle

Inégalités de Khintchine p. 4–5

Inégalités de concentration · Inégalités de Hölder et de Minkowski · Intégrales généralisées et intégrabilité · Espérance, variance, moments — inégalités de Khintchine, moments d'une variable aléatoire, formule $\mathbb{E}(X^p)$ par la fonction de queue, interpolation des normes $L^p$ , intégrale gaussienne

Une première conséquence p. 5

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Normes équivalentes · Variables aléatoires et lois usuelles — produit scalaire, isométrie, normes équivalentes, espace des suites à support fini

Une deuxième conséquence p. 5–6

Normes équivalentes · Inégalités classiques · Espaces vectoriels et dimension — normes 1 et 2 sur $\mathbb{R}^n$ , plongement de $\ell^2$ dans $\ell^1$ , sous-espace de grande dimension, signes $\pm 1$

Dans l'édifice

Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Espérance, variance et inégalités Dérivabilité Espaces de Hilbert et théorème de projection Moments exponentiels et inégalité de Hoeffding Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de représentation de Riesz Normes en dimension finie Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs