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Mines-Ponts MPI 2026 — Maths 2

Autour de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ et $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$ · 5 pages

Le sujet étudie le groupe orthogonal et le groupe spécial linéaire : propriétés topologiques de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ (compacité, non-connexité, connexité par arcs de $\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ ) et maximalité de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ parmi les sous-groupes compacts de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ , puis calcul différentiel sur ces groupes, avec l'espace tangent à $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ formé des matrices antisymétriques et la minimisation de $\operatorname{tr}(M^\top M)$ sur $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$ , atteinte exactement sur $\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ . Les deux dernières parties étudient un morphisme continu $\varphi$ de $\mathbb{U}$ dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ : $x \mapsto \varphi(e^{ix})$ est de la forme $x \mapsto \exp(xM)$ , puis, grâce à la décomposition de Dunford, $M$ est semblable sur $\mathbb{R}$ à une matrice diagonale par blocs de rotations $R_{kx}$ ( $k$ entier non nul) et de $1$ .

Le sujet, partie par partie

I. Quelques propriétés de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ p. 2–3

Matrices orthogonales et rotations · Compacité · Connexité · Groupes de matrices · Diagonalisation · Lois de Bernoulli et binomiale — groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal, matrices de rotation, réflexions, connexité par arcs, matrice aléatoire de Bernoulli

II. Calcul différentiel sur $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ et $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$ p. 3

Calcul différentiel · Extrema liés et multiplicateurs de Lagrange · Matrices orthogonales et rotations · Déterminants — espace tangent, matrices antisymétriques, gradient du déterminant, comatrice, groupe spécial linéaire, minimum de la trace

III. Morphismes continus de $\mathbb{U}$ dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ p. 4

Groupes de matrices · Exponentielle de matrices · Intégrale sur un segment · Dérivabilité · Topologie des espaces de matrices — morphisme de groupes continu, sous-groupe borné, équation fonctionnelle de Cauchy, exponentielle de matrice

IV. Morphismes de $(\mathbb{R},+)$ dans $(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}),\times)$ p. 4–5

Exponentielle de matrices · Nilpotents, Jordan, Dunford · Groupes de matrices · Trigonalisation · Matrices par blocs — décomposition de Dunford, matrices semblables sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$ , matrices nilpotentes, matrices de rotation, forme réduite par blocs

Dans l'édifice

Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Compacité Caractérisations de la connexité Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Matrices d'une application linéaire Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Dérivabilité Groupe topologique

Mines-Ponts MPI 2026 — Maths 2

Le sujet, partie par partie

I. Quelques propriétés de On(ℝ)\mathrm{O}_n(\mathbb{R}) p. 2–3

II. Calcul différentiel sur On(ℝ)\mathrm{O}_n(\mathbb{R}) et SLn(ℝ)\mathrm{SL}_n(\mathbb{R}) p. 3

III. Morphismes continus de 𝕌\mathbb{U} dans GLn(ℝ)\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) p. 4

IV. Morphismes de (ℝ,+)(\mathbb{R},+) dans (GLn(ℝ),×)(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}),\times) p. 4–5

Dans l'édifice

I. Quelques propriétés de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ p. 2–3

II. Calcul différentiel sur $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ et $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$ p. 3

III. Morphismes continus de $\mathbb{U}$ dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ p. 4

IV. Morphismes de $(\mathbb{R},+)$ dans $(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}),\times)$ p. 4–5