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Mines-Ponts PC 2011 — Maths 1

Inégalité de Prékopa et Leindler · 5 pages

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Le problème démontre l'inégalité de Prékopa-Leindler sur $\mathbb{R}$ : si $h(\lambda x + (1 - \lambda)y) \geqslant f(x)^\lambda g(y)^{1-\lambda}$ , alors l'intégrale de $h$ majore le produit des intégrales de $f$ et $g$ élevées aux puissances $\lambda$ et $1 - \lambda$ , d'abord pour $f$ et $g$ strictement positives par un changement de variable construit à partir des fonctions de répartition, puis en général par approximation et convergence dominée. Il étudie ensuite les fonctions log-concaves, étend l'inégalité au plan et en déduit une inégalité de type Brunn-Minkowski $V(\lambda A + (1 - \lambda)B) \geqslant V(A)^\lambda V(B)^{1-\lambda}$ pour l'aire d'ouverts bornés.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Une inégalité de Prékopa et Leindler p. 2–4

Inégalités fonctionnelles · Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonctions convexes · Inégalité arithmético-géométrique · Convergence dominée · Intégrale sur un segment — inégalité de Prékopa-Leindler, inégalité arithmético-géométrique pondérée, concavité, changement de variable, fonction de répartition, convergence dominée

Partie II — Fonctions log-concaves p. 4

Fonctions convexes · Espaces vectoriels normés · Inégalités fonctionnelles — fonction log-concave, norme sur $\mathbb{R}^n$ , fonction convexe, gaussienne

Partie III — Quelques applications géométriques p. 4–5

Intégrales multiples · Ensembles convexes · Inégalités fonctionnelles · Théorie de la mesure — inégalité de Brunn-Minkowski, somme de Minkowski, aire d'un ouvert borné, intégrale double, fonctions à support borné, mesure log-concave

Dans l'édifice

Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Dérivabilité Théorème de convergence dominée Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit Théorème de Hahn-Banach Tribus et tribu borélienne Mesures et premières propriétés La mesure de Lebesgue sur ℝ Fonctions mesurables