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Mines-Ponts PC 2021 — Maths 2

Polynômes à racines toutes réelles · 7 pages

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Le sujet étudie les polynômes réels dont toutes les racines sont réelles : stabilité par dérivation (théorème de Rolle) et par les opérateurs $Q(D)$ , log-concavité de leurs coefficients, exemples venant des matrices symétriques, des polynômes orthogonaux pour le poids $e^{-x}$ et des sommes de variables de Bernoulli indépendantes. Il démontre le théorème de Hermite-Sylvester ( $P$ est à racines toutes réelles si et seulement si la forme quadratique $\sum s_{i+j-2}\, x_i x_j$ construite sur les sommes de Newton est positive), puis étudie les suites multiplicatives de Pólya-Schur et les caractérise par la série entière $\sum \gamma_n x^n/n!$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Log-concavité des suites p. 2

Coefficients binomiaux · Suites numériques · Inégalités classiques — suite log-concave, suite unimodale, suite ultra log-concave, coefficients binomiaux

Polynômes réels à racines toutes réelles p. 3

Racines et relations coefficients-racines · Dérivabilité · Polynômes · Coefficients binomiaux — théorème de Rolle, multiplicité d'une racine, polynôme réciproque, inégalités de Newton, opérateur de dérivation, théorème de composition de Schur

Quelques exemples p. 4

Théorème spectral · Polynômes orthogonaux · Fonctions génératrices · Matrices symétriques positives · Polynômes de Laguerre · Lois de Bernoulli et binomiale — polynôme caractéristique d'une matrice symétrique, racine carrée d'une matrice positive, produit scalaire intégral, polynômes orthogonaux, somme de variables de Bernoulli indépendantes

Théorème de Hermite-Sylvester p. 5–6

Formes bilinéaires et quadratiques · Racines et relations coefficients-racines · Dualité · Déterminants · Nombres complexes — théorème de Hermite-Sylvester, sommes de Newton, forme quadratique positive, matrice de Vandermonde, formes linéaires indépendantes, matrice de Hankel

Suite multiplicative de Pólya-Schur p. 6

Racines et relations coefficients-racines · Polynômes · Suites numériques — suite multiplicative de Pólya-Schur, opérateur diagonal sur les polynômes, relations coefficients-racines, suite alternée

Théorème de Pólya-Schur p. 7

Racines et relations coefficients-racines · Séries entières · Convergence uniforme et normale · Coefficients binomiaux — théorème de Pólya-Schur, log-concavité, rayon de convergence, limite uniforme de polynômes, théorème de composition de Schur

Dans l'édifice

Ensembles finis et principe des tiroirs Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Anneaux de polynômes Dérivabilité Espaces de Hilbert et théorème de projection Séries entières et rayon de convergence Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espace dual Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes