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Mines-Ponts PSI 2014 — Maths 2

Racine de l'opposé du laplacien et équation de la chaleur généralisée · 5 pages

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Le sujet travaille sur les fonctions $2\pi$ -périodiques via leurs coefficients de Fourier : régularité et décroissance des coefficients, caractérisation des opérateurs différentiels comme multiplicateurs polynomiaux. Il définit un opérateur $A$ de multiplicateur $\rho(|n|)$ et le semi-groupe $Q_t$ de multiplicateur $e^{-t\rho(|n|)}$ , solution de l'équation de la chaleur généralisée $\frac{\partial}{\partial t} Q_t f = -A Q_t f$ , dont il déduit la résolvante et les valeurs propres de $A$ . Pour $\rho(y) = y$ , $A$ est une racine carrée de $-\mathrm{d}^2/\mathrm{d}x^2$ , $Q_t$ s'exprime par le noyau de Poisson, converge vers la donnée initiale, et l'énergie associée décroît.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie 1 — Séries trigonométriques p. 2–3

Séries de Fourier · Convergence uniforme et normale · Polynômes — coefficients de Fourier, décroissance des coefficients, série trigonométrique, convergence normale, opérateur différentiel, multiplicateur de Fourier

Partie 2 — Équation de la chaleur généralisée p. 3–4

Semi-groupes et générateurs · Équations aux dérivées partielles · Séries de Fourier · Intégrales à paramètre · Interversion des limites — équation de la chaleur, semi-groupe, résolvante, transformée de Laplace, valeurs propres d'un opérateur, dérivation terme à terme

Partie 3 — Représentations intégrales p. 4

Transformées de Fourier et de Laplace · Séries de Fourier · Opérateurs et théorie spectrale · Fonctions harmoniques — racine carrée du laplacien, transformée de Fourier, noyau de Poisson, représentation intégrale, opérateur différentiel

Parties 4 et 5 — Données initiales continues et décroissance de l'énergie p. 5

Théorème de Weierstrass · Formule de Parseval · Fonctions harmoniques · Séries de Fourier — théorème de Weierstrass trigonométrique, noyau de Poisson, convergence vers la donnée initiale, égalité de Parseval, décroissance de l'énergie

Dans l'édifice

Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Anneaux de polynômes Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Fonctions de classe Cᵏ Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Une série entière est holomorphe Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Dérivabilité complexe Densité des fonctions en escalier et continuité des translations