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Mines-Ponts PSI 2024 — Maths 1

Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne · 5 pages

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Le sujet introduit, pour les fonctions continues à croissance lente, le semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck $P_t(f)(x) = \int f(e^{-t}x + \sqrt{1-e^{-2t}}\, y) \varphi(y) \,\mathrm{d}y$ , où $\varphi$ est la densité gaussienne, et l'opérateur $L(f) = f'' - x f'$ . Il établit une formule d'intégration par parties contre $\varphi$ , montre que $t \mapsto P_t(f)(x)$ vérifie $\partial_t P_t(f) = L(P_t(f))$ , puis étudie l'entropie $S(t)$ de $P_t(f)$ par rapport à $\varphi$ . En dérivant $S$ et grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz, il démontre l'inégalité de log-Sobolev gaussienne : l'entropie de $f$ est majorée par la moitié de $\int f'^2/f \,\varphi$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie 1 — Résultats préliminaires p. 2–3

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Espaces vectoriels et dimension · Convergence dominée · Loi normale et vecteurs gaussiens — fonctions à croissance lente, densité gaussienne, semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck, intégration par parties, opérateur $L(f) = f'' - x f'$

Partie 2 — Dérivée de $P_t(f)$ p. 3–4

Intégrales à paramètre · Calcul différentiel · Équations aux dérivées partielles — dérivation sous l'intégrale, classe $\mathcal{C}^2$ , équation d'évolution $\partial_t P_t(f) = L(P_t(f))$ , opérateur d'Ornstein-Uhlenbeck

Partie 3 — Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne p. 4–5

Intégrales à paramètre · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Fonctions convexes · Continuité · Inégalités classiques — entropie, inégalité de log-Sobolev, fonction $t \ln t$ , inégalité de Cauchy-Schwarz, information de Fisher

Dans l'édifice

Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs La loi normale Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Espaces de Hilbert et théorème de projection Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Espaces vectoriels normés et espaces de Banach