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X-ENS MP 2012 — Maths A

Représentations de dimension finie de l'algèbre de Lie de $\mathrm{SU}(2, \mathbb{C})$ · 4 pages

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Le sujet étudie l'espace $L$ des matrices $2 \times 2$ antihermitiennes de trace nulle, réel de dimension 3 et stable par crochet, et l'exponentielle de matrices, dont il établit les propriétés (conjugaison, déterminant, $\exp(A + B)$ quand $A$ et $B$ commutent). Il décrit $\mathrm{SU}(2, \mathbb{C})$ , montre que tout élément est conjugué dans $\mathrm{SU}(2, \mathbb{C})$ à une matrice $\operatorname{diag}(e^{i\theta}, e^{-i\theta})$ , que deux éléments sont conjugués si et seulement s'ils ont même trace, que $\exp$ envoie $L$ surjectivement sur $\mathrm{SU}(2, \mathbb{C})$ , et que tout sous-groupe distingué contenant un élément autre que $\pm I_2$ est $\mathrm{SU}(2, \mathbb{C})$ entier. Il étudie enfin les représentations de dimension finie de l'algèbre de Lie : à partir d'un vecteur propre $v_0$ de $e$ annulé par $z$ (vecteur de plus haut poids), il construit une famille libre $v_0, \ldots, v_n$ , avec $v_k = w^k(v_0)$ , sur laquelle $e$ , $z$ et $w$ agissent par des formules explicites, $e(v_k) = i(n - 2k)v_k$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Première partie — Algèbre de Lie $L$ et exponentielle p. 1–2

Exponentielle de matrices · Groupes de Lie matriciels et algèbres de Lie · Espaces vectoriels et dimension · Trigonalisation · Normes subordonnées et applications linéaires continues — algèbre de Lie de $\mathrm{SU}(2)$ , crochet de Lie, matrices antihermitiennes, exponentielle de matrice, déterminant de l'exponentielle, matrices triangulaires

Deuxième partie — Le groupe $\mathrm{SU}(2, \mathbb{C})$ p. 2–3

Groupes de matrices · Groupes de Lie matriciels et algèbres de Lie · Exponentielle de matrices · Groupes · Diagonalisation · Connexité — groupe unitaire, $\mathrm{SU}(2)$ , classes de conjugaison, surjectivité de l'exponentielle, sous-groupe distingué, groupe simple, trace

Troisième partie — Représentations de dimension finie p. 3–4

Groupes de Lie matriciels et algèbres de Lie · Algèbres et sous-algèbres · Réduction des endomorphismes · Représentations des groupes finis · Espaces vectoriels et dimension — représentation d'algèbre de Lie, vecteur de plus haut poids, opérateurs d'échelle, relations de commutation, valeurs propres $i(n - 2k)$ , $\mathfrak{sl}_2$

Dans l'édifice

L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Matrices d'une application linéaire Applications linéaires continues et dual topologique Groupes Sous-groupes Morphismes de groupes Groupe quotient Caractérisations de la connexité Modules sur un anneau commutatif Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé Déterminant d'un endomorphisme