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X-ENS MP 2013 — Maths B

Exposant de Hölder ponctuel d'une fonction continue · 5 pages

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Le sujet définit l'exposant de Hölder ponctuel $\alpha_f(x_0)$ d'une fonction continue sur $[0, 1]$ et le module de continuité $\omega_f$ , puis introduit le système de Schauder (fonctions chapeaux $\theta_{jk}$ sur les intervalles dyadiques) : les sommes partielles $S_n f$ interpolent $f$ aux points dyadiques et convergent uniformément vers $f$ . Il montre qu'une régularité höldérienne en $x_0$ entraîne une majoration des coefficients $c_{jk}(f)$ , et établit une réciproque : sous cette majoration et une hypothèse faible sur $\omega_f$ , on a $\alpha_f(x_0) \geqslant s$ .

Le sujet, partie par partie

Première partie — Définition de l'exposant de Hölder ponctuel p. 1–2

Continuité · Dérivabilité · Inégalités classiques — exposant de Hölder ponctuel, fonction höldérienne, module de continuité, sous-additivité, continuité uniforme

Deuxième partie — Le système de Schauder p. 2–4

Approximation des fonctions · Convergence uniforme et normale · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Numération et écriture en base b · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Projecteurs et trace — système de Schauder, fonctions chapeaux, intervalles dyadiques, interpolation affine par morceaux, projecteur de norme $1$ , coefficients de Schauder

Troisième partie — Minoration de l'exposant de Hölder ponctuel p. 4–5

Continuité · Approximation des fonctions · Séries numériques · Inégalités classiques — exposant de Hölder ponctuel, module de continuité, majoration des coefficients, décomposition dyadique, estimation de sommes géométriques

Dans l'édifice

Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Dérivabilité Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Espaces de Hilbert et théorème de projection Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables ℚ, corps des fractions de ℤ Applications linéaires continues et dual topologique Applications linéaires Théorème du rang Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives