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X-ENS MP 2018 — Maths B

Minimum de l'intégrale d'un polynôme positif sur $[-1, 1]$ valant $1$ aux bornes · 5 pages

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Le sujet étudie la borne inférieure $a_N$ de l'intégrale sur $[-1, 1]$ des polynômes de degré au plus $N$ , positifs sur $[-1, 1]$ et valant $1$ en $-1$ et en $1$ . Après avoir montré que cette borne est atteinte, il introduit les polynômes de Legendre et calcule leurs normes, prouve qu'un polynôme pair minimisant a toutes ses racines dans $[-1, 1]$ et est le carré d'un polynôme $U_N$ , puis obtient $a_N$ comme l'inverse d'une somme des $1/g_j$ par minimisation de la norme sur un hyperplan affine.

Le sujet, partie par partie

Introduction et questions préliminaires p. 3

Ensembles convexes · Compacité · Normes équivalentes · Espaces vectoriels normés · Extrema et optimisation · Polynômes — partie convexe, norme $L^1$ , partie fermée, borne inférieure atteinte, dimension finie, polynôme pair

Première partie — Polynômes de Legendre p. 3–4

Polynômes de Legendre · Intégrale sur un segment · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Espaces vectoriels et dimension — polynômes de Legendre, formule de Rodrigues, intégration par parties, famille orthogonale, intégrales de Wallis, relation de récurrence

Deuxième partie — Localisation des racines d'un polynôme minimisant p. 4–5

Racines et relations coefficients-racines · Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne · Extrema et optimisation — factorisation d'un polynôme réel, racines complexes conjuguées, cercle d'Apollonius, polynôme pair, racines dans un segment

Troisième partie — Calcul explicite de $a_N$ p. 5

Projection orthogonale et moindres carrés · Polynômes de Legendre · Extrema et optimisation · Racines et relations coefficients-racines — carré d'un polynôme, sous-espace affine, minimisation de norme, décomposition dans une base orthogonale, polynômes de Legendre pairs

Dans l'édifice

Théorème de Hahn-Banach Compacité Normes en dimension finie Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Applications linéaires continues et dual topologique Applications différentiables Anneaux de polynômes Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle