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X-ENS MP 2021 — Maths D

Produit de matrices aléatoires : le théorème de Furstenberg–Kesten · 9 pages

Pour des matrices aléatoires inversibles indépendantes de même loi à support fini, le sujet étudie le produit $\Psi_n = M^{(n)}\cdots M^{(1)}$ et établit le théorème de Furstenberg–Kesten : $(1/n) \log|||\Psi_n|||$ converge en probabilité vers une constante $\ell(\mu)$ . Il démontre d'abord le théorème de Gelfand $(1/n) \log|||A^n||| \to \log \rho(A)$ , puis le lemme de Fekete sur les suites sous-additives, calcule $\ell(\mu)$ et $\xi(\mu)$ pour des matrices diagonales, commutantes et pour l'exemple de l'échangeur, et conclut par la loi faible des grands nombres.

Le sujet, partie par partie

Notations, question préliminaire et Partie I — Puissance d'une matrice et théorème de Gelfand p. 2–4

Rayon spectral · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Trigonalisation · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Coefficients binomiaux · Lois des grands nombres · Normes équivalentes · Continuité — rayon spectral, théorème de Gelfand, norme d'opérateur, matrice triangulaire supérieure, continuité du rayon spectral

Partie II — Exposants de Lyapunov via la sous-additivité p. 4–5

Rayon spectral · Matrices et graphes aléatoires · Espérance, variance, moments · Suites numériques · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Déterminants · Matrices positives et stochastiques — suite sous-additive, lemme de Fekete, exposant de Lyapunov, division euclidienne, rayon spectral de la matrice des espérances

Partie III — Calcul de $\ell(\mu)$ et $\xi(\mu)$ dans des cas particuliers p. 5–7

Matrices et graphes aléatoires · Trigonalisation · Covariance et corrélation · Lois des grands nombres · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Rayon spectral · Diagonalisation — matrices diagonales aléatoires, trigonalisation simultanée, matrices qui commutent, échangeur, exposant de Lyapunov

Partie IV — Le théorème de Furstenberg–Kesten p. 7–8

Lois des grands nombres · Matrices et graphes aléatoires · Lois des grands nombres et théorèmes limites · Suites numériques — théorème de Furstenberg-Kesten, convergence en probabilité, loi faible des grands nombres, produit de matrices aléatoires, raisonnement par l'absurde

Dans l'édifice

Applications linéaires continues et dual topologique Spectre premier d'un anneau Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Ensembles finis et principe des tiroirs Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres Normes en dimension finie Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Formes multilinéaires alternées Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Convergence presque sûre, en probabilité, en moyenne