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X-ENS MPI 2023 — Maths C

Théorème de Peano et inclusions différentielles · 6 pages

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Le sujet étudie le problème de Cauchy $y' = F(y)$ lorsque $F$ est seulement continue. Après des exemples explicites (modèles de croissance de type Gompertz), il démontre le théorème d'Ascoli (une partie de $\mathcal{C}(K, \mathbb{R}^d)$ est relativement compacte si et seulement si elle est équicontinue et ponctuellement bornée), en déduit le théorème de Peano à partir des approximations du schéma d'Euler et exhibe une infinité de solutions globales pour $y' = 3|y|^{2/3}$ , $y(0) = 0$ . Il aborde enfin les inclusions différentielles $y' \in F(y)$ : unicité de la solution maximale sous une condition de monotonie, puis détermination de toutes les solutions maximales pour un champ du plan discontinu le long de la droite $x_1 = 0$ , selon que cette condition est vérifiée ou non.

Le sujet, partie par partie

Définitions et Partie I — Premiers exemples p. 2–3

Équations différentielles non linéaires · Continuité — équation autonome, changement de fonction inconnue, solution explicite, convergence simple des solutions

Partie II — Un théorème de compacité p. 3–4

Compacité · Convergence uniforme et normale · Espaces vectoriels normés · Densité — théorème d'Ascoli, équicontinuité, procédé diagonal, partie relativement compacte, fonctions lipschitziennes

Partie III — Existence de solutions p. 4–5

Équations différentielles non linéaires · Schémas numériques pour les équations différentielles · Compacité · Convergence uniforme et normale · Intégrale sur un segment — théorème de Cauchy-Peano, schéma d'Euler explicite, non-unicité des solutions, problème de Cauchy

Partie IV — Inclusions différentielles p. 5–6

Équations différentielles non linéaires · Espaces préhilbertiens et euclidiens — inclusion différentielle, champ discontinu, unicité par condition de monotonie, solutions maximales

Dans l'édifice

Théorème de Cauchy-Lipschitz local Solutions maximales et critère d'explosion Lemme de Grönwall et dépendance par rapport aux conditions initiales Flot d'un champ de vecteurs Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Compacité Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Intérieur, adhérence Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz