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X-ENS PC 2012 — Maths

Étude qualitative des systèmes différentiels autonomes · 5 pages

Le sujet étudie le comportement asymptotique des solutions de $y' = f(y)$ . Après un exemple logistique en dimension 1 résolu explicitement, il construit l'exponentielle de matrice comme résolvante du système linéaire $Y' = AY$ , établit le lemme de Grönwall et montre la décroissance exponentielle quand les valeurs propres sont strictement négatives. La dernière partie justifie la stabilité asymptotique d'un équilibre par linéarisation, avec des exemples d'explosion en temps fini et un système plan concret.

Le sujet, partie par partie

Notations et Préliminaire — Norme subordonnée p. 1–2

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Espaces vectoriels normés — norme subordonnée, sous-multiplicativité, solution maximale, norme euclidienne

Première partie — Un exemple en dimension 1 p. 2

Équations différentielles non linéaires · Théorème de Cauchy-Lipschitz · Intégrale sur un segment — équation logistique, séparation des variables, solution maximale, comportement asymptotique

Deuxième partie — Le cas linéaire p. 3–4

Systèmes différentiels linéaires · Exponentielle de matrices · Stabilité des équilibres · Trigonalisation · Matrices orthogonales et rotations · Normes subordonnées et applications linéaires continues — exponentielle de matrice, lemme de Grönwall, variation des constantes, matrice triangulaire supérieure, décroissance exponentielle, valeurs propres strictement négatives

Troisième partie — Linéarisation p. 4–5

Stabilité des équilibres · Équations différentielles non linéaires · Calcul différentiel · Systèmes différentiels linéaires · Théorème de Cauchy-Lipschitz — linéarisation, point d'équilibre, matrice jacobienne, stabilité asymptotique, explosion en temps fini, lemme de Grönwall, système autonome plan

Dans l'édifice

Applications linéaires continues et dual topologique Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Théorème de Cauchy-Lipschitz local Solutions maximales et critère d'explosion Lemme de Grönwall et dépendance par rapport aux conditions initiales Flot d'un champ de vecteurs Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Systèmes linéaires et exponentielle de matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Matrices d'une application linéaire Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis